Bonjour,
Les modes indicatif et subjonctif donnent un sens différent à la phrase mais sont tous deux corrects.
Après une telle hécatombe, personne ne croira que ton régiment soit tombé par hasard sur ces Indiens. L’action de la subordonnée est incertaine.
Après une telle hécatombe, personne ne croira que ton régiment est tombé par hasard sur ces Indiens. L’action est jugée impossible. La rencontre avec les indiens était préparée, anticipée.

Bonjour,
Une virgule s’impose pour interpeller la personne.
Tu veux vraiment une énième dispute, ma chérie ? 

Bonjour,
Brut est ici adverbe, donc invariable, et mensuel adjectif.
1600 euros brut mensuels

Bonjour,
Voilà ce qu’en dit Larousse : « Une compagnie d’assurances, un agent d’assurances, au pluriel, parce qu’ils traitent de toutes sortes d’assurances ; mais une prime d’assurance, une police d’assurance, au singulier, parce qu’il s’agit d’une assurance, d’un contrat unique.
remarque
Compagnie d’assurance est parfois sans s à assurance. »

Bonjour,
Le premier participe passé ,effectivement, reste invariable car le COD, qu’ mis pour lettre, ne fait pas l’action exprimée par l’infinitif.
Pour le second, j’aurais fait l’accord avec lettre car l’infinitif qui suit a son propre COD, l’.
On a trouvé la lettre qu’elle avait commencé à lui écrire et qu’elle avait laissée sur la table pour l’envoyer le lendemain.

Bonjour,
Effectivement on dira « les portent s’ouvrent à neuf heures ».
Il s’agit de la forme pronominale passive : les portes sont ouvertes à neuf heures.

Bonsoir,
Oui, l’accord se fait avec le sujet « santé » et donc au féminin singulier : dédiée.
Mais la phrase est assez peu compréhensible.
« Porter la santé » est une expression vieillie.

Bonjour,

1. Son regard alla de l’adolescente à la grand-mère, chacune à un bout de la vie. Qui était la plus à plaindre ?

2. rouge ponceau et rouge cochenille ?
On écrira rouge ponceau (Académie française) et  rouge cochenille (TLFi).

Bonjour,
Dans une phrase négative on réduit le déterminant à de ou d’ devant le COD sauf « lorsque la négation est suivie d’un élément qui s’oppose à ce qui est nié, ou encore lorsque le nom est employé comme attribut après le verbe être. » (Office québécois de la langue française)

On n’écrira donc pas je ne veux pas acheter du poisson mais je ne veux pas acheter de poisson, sauf dans le cas suivant : je ne veux pas acheter du poisson mais de la viande.

Bonjour,
Utiliser courant + période de temps est du langage courant.
Il est préférable, comme vous le dites, d’écrire : dans le courant de la semaine prochaine.