Dans le cas présent, « se tromper », verbe pronominal, n’a pas de complément d’objet, il s’accorde donc avec son sujet. Il faut donc écrire : «Les autorités ne s’y sont pas trompées».

Les deux sont corrects.
Cependant, devant un verbe on emploie le plus souvent « de »  : merci de m’avoir aidé .
Devant un nom, on emploie plus volontiers « pour »  : merci pour votre aide.
L’Académie, dans son dictionnaire et pour la définition de « merci », donne parmi les exemples : merci de votre obligeance (donc « de » avec nom).
Tout est donc possible.

Je me sens obligé de moduler ma réponse précédente qui reste quand même, à mon sens, défendable. L’Académie française précise dans son dictionnaire que le verbe s’ensuivre n’est « usité qu’à la troisième personne du singulier et  du pluriel », donc l’emploi de la 3ème personne du pluriel est correct selon elle. Voilà qui donne raison à Chambaron.

Bien sûr, l’emploi de « il s’en est suivi » est à proscrire.  Que dire après Bruno Dewaele… ? Que le verbe « s’ensuivre » est un verbe impersonnel, l’utilisation de la 3ème personne du pluriel n’est donc pas possible,  malgré la réponse de Chambaron (qui veut éviter des lourdeurs, mais elles sont évitables, la langue française est riche) et la citation que fait Bruno Dewaele de Chateaubriand : «des duels s’ensuivirent».
De la cause que donne l’illustre écrivain, il résulta des duels donc « il s’ensuivit des duels ».

Dans le cas présent, « ferme » se rapportant  à un nom ne peut avoir valeur d’adverbe.  Il faut donc faire l’accord.

Certes, l’emploi de « par contre » est déconseillé. Toutefois, il pourrait exceptionnellement s’imposer. L’Académie cite André Gide qui remarquait à ce propos : Trouveriez-vous décent  qu’une femme vous dise :« Oui, mon frère et mon mari sont revenus saufs de la guerre ; en revanche j’y ai perdu mes deux fils. » ? (Site de l’Académie, « Questions de langue »)