A Chambaron.
Analyse très, très subtile ! Vous avez raison de signaler que le premier exemple est mal choisi pour illustrer une règle.
Je pense avoir raison pour le deuxième exemple, la règle est différente et celle à appliquer est toute bête : je donne quoi ?
Or, je ne lui donne pas les lettres.
Que pensez-vous alors,, de ma réponse, s’il vous plaît ?

Pour ma part, j’écris, en vertu de la règle (en tant que telle il faut la respecter) : « ces moutons que nous avons vus rentrer à l’étable ».
Cet exemple se rapproche de celui bien connu : « ces acteurs que j’ai vus jouer ».
Ainsi, je ne comprends pas la correction qui vous a été proposée.
L’accord, dans la deuxième phrase, « je vous ai données », n’est pas lié à ce que « les lettres » font l’action ou pas, on n’appliquera pas la même règle.
Il faut simplement poser les questions « je vous ai donné quoi ? » ou « je vous ai donné à mettre quoi ? ».
Pour ma part, j’estime que je n’ai pas donné les lettres mais plutôt je les ai donné à mettre à la poste.
Ainsi, à mon sens, il n’y a pas lieu de faire l’accord et j’écrirais : « Que sont devenues les lettres que je vous ai donné à mettre à la poste ».

Devant un verbe à l’infinitif, le verbe faire est toujours invariable, sans exceptions.

Ce n’est pas exactement le cas. L’appel de note « exposant » est accolé au mot qu’il concerne. S’il est aligné, il se place immédiatement après le mot et il est séparé d’une espace insécable, en effet : Hélios (1).

Le renvoi auquel vous faites allusion est un repère qui se nomme, en typographie, un « appel de note ».
L’appel de note, avec ou sans parenthèses, est collé au mot qu’il concerne.
(Source : Louis Guéry, Dictionnaires des règles typographiques).

On peut aussi citer Grevisse, en notant bien qu’il précise que les interprétations sont diverses : « L’expression À Dieu va ! s’expliquerait sans peine, mais il se fait qu’on la trouve plus souvent, dans les dictionnaires et dans la littérature, sous la forme À Dieu vat (avec t souvent prononcé).
Cela a donné lieu à des hypothèses variées (influence de Va-t’en, etc.). L’emprunt d’une interjection bretonne ne serait pas invraisemblable pour une formule qui s’employait notamment parmi les marins. » (Le Bon usage. § 833).

Lorsque la couleur est exprimée au moyen de deux adjectifs coordonnés par et :
• les deux adjectifs varient si chacun des éléments mentionnés est une seule couleur.
• les deux adjectifs sont invariables si chacun des objets désignés est bicolore.
Nous jouons aux dames avec des jetons noirs et blancs.
Ses chaussettes noir et blanc lui tombent sur les pieds.

Donc :
• si l’on a des étoles blanches et des étoles noires, on écrira : des étoles blanches et noires.
• si l’on a des étoles qui sont à la fois de couleur blanche et de couleur noire, on écrira : des étoles blanc et noir.

Tout d’abord ne pas abuser de majuscules, Madame le maire-adjoint suffira. Mais, si vous lui adressez un courrier, vous écrirez Madame l’Adjointe au maire, pour suivre joelle, mais sans majuscule à maire.
Pour ma part, je reste attaché à Madame le maire. 
En effet, maire est un nom de fonction et un nom masculin.
« En ce qui concerne les titres, les grades et les fonctions, au nom de la neutralité institutionnelle et juridique qui leur est attachée, l’Académie française recommande d’éviter, dans tous les cas non consacrés par l’usage, les termes du genre dit « féminin » et de préférer les dénominations de genre non marqué [masculin]) » (Académie française).

La  féminisation autoritaire et systématique, à laquelle on assiste (on participe ?) est regrettable, car on ne décrète pas une langue, c’est l’usage qui la fait, or à l’époque (1984, 1998), l’usage ne la préconisait  pas, il a fallu un décret dommageable pour l’imposer.
Mais force est de constater que le féminin, pour les noms de fonction, tend à être généralisé et l’on ne fera pas machine arrière, l’on pourra de moins en moins s’y opposer (je « résiste » encore).
Madame la maire est de plus en plus répandu et tend à être consacré par l’usage, on écrira donc aussi bien Madame le maire-adjoint que Madame la maire-adjointe. (gare aux sensibilités).
Il est vrai, comme le fait remarquer joelle, qu’il vaut mieux écrire Madame l’Adjointe au maire.

1. « m’ » complément d’objet direct avant le verbe, on accorde : « cela m’a dotée de compétences… »
2. C’est moi qui confie et non moi qui suis confiée, donc emploi de l’infinitif : « C’est de me voir confier cette tâche qui m’a… »

On pourrait écrire aussi : « Pour obtenir plus d’information, je vous invite à… » ou « Pour obtenir plus d’informations, je vous invite à… ».