Seul le singulier est possible ici. À la fois pour l’adjectif « seul » et pour la conjugaison de « avoir ».
La règle que vous dites connaître (sens exclusif ou inclusif) est juste une escroquerie de manuels scolaires, elle n’a jamais existé.
« Un verbe avec deux sujets unis par ou« , comme vous l’écrivez en titre, ça n’existe pas.

« Seul(s) Pierre ou Paul est/sont », ça n’existe pas, ce n’est pas Pierre seul, ce n’est pas Paul seul, ce n’est ni Pierre ni Paul seul(s), ce n’est personne, ça ne veut rien dire, c’est juste une faute de français. Il ne faut pas confondre avec « seuls Pierre et Paul sont… ». « Seuls Pierre ou Paul », ça n’a aucun sens. « Seuls un imbécile ou un illuminé », ça n’a aucun sens pour parler de deux personnes différentes.

Il n’existe pas de sujet dont on ne connaisse pas le nombre. Si on ne connaît pas le nombre et le genre du sujet, c’est qu’on ne connaît pas le sujet. Si on connaît pas le sujet, on ne conjugue pas.
Sinon, on ne parle pas le français, on parle le Sandrine-Rousseau : un.e chos.e, il ou elle est venu(e) et iels a/ont trouvé des/un gen(s) qui le.la.les ont/a renseigné.e.s.

Il est fondamentalement impossible en français de conjuguer un verbe sans en connaître le sujet, porteur d’un genre et d’un nombre. Inutile de nous demander si le sujet dont vous ne connaissez ni le genre ni le nombre doit être traité syntaxiquement comme un nom masculin ou féminin ou neutre ou s’il doit être singulier ou pluriel dans le cas où il pourrait être deux sujets à la fois, puisque en plus vous parlez sans hésitation d’un verbe ayant plusieurs sujets.
Peut-être après tout qu’un verbe peut avoir plusieurs sujets, et que je suis dépassé, mais alors dites-nous dans quel livre de grammaire vous avez lu cela. Et combien de COD peut-il avoir ? Et si on conjugue le verbe selon le sujet de son choix, peut-on aussi accorder le participe passé avec le COD antéposé de son choix ? D’où sortez-vous cela ? Non, sérieusement, un verbe a un seul sujet, et un sujet de nombre flou, ça n’existe pas.

On a de nombreuses demandes ce type, pourquoi pas, mais on a aussi plusieurs contributeurs qui sans broncher admettent ces notions de sujet plus ou moins indéterminé, plus ou moins inclusif, plus ou moins féminin ou neutre… et cela je ne le comprends pas. Je pense qu’il s’agit d’initiatives personnelles.

Les histoires de ou inclusif et de ou exclusif n’existent pas dans la grammaire française. Ce sont juste des notions bêtifiantes des services de l’Éducation nationale et de quelques éditeurs, datant de la décennie 1970. Ces notions, valides en logique, n’ont aucun sens en français. J’ai vu Paul ou Pierre ? aucun sens. Je verrai Paul ou Pierre ? inclusif, exclusif, on n’en sait rien. Pierre ou Paul viendra si c’est exclusif et viendront si c’est inclusif ? Tout cela est ridicule, et jamais aucun grammairien n’a parlé de cela. Ces histoires et ces normes ne proviennent que de fonctionnaires, de livres d’école, de recommandations de tel ministère canadien ou français… Il ne faut rien en retenir.

Coordonnez sans inconvénient par « ou » les noms désignant une même personne (inclusivement ou exclusivement, cela n’importe absolument pas) et conservez le singulier :
— Seul un imbécile ou un illuminé aurait…
Ne coordonnez jamais par « ou » deux noms au singulier désignant des personnes potentiellement différentes pour en faire un sujet, c’est impossible.

Votre deuxième question, que vous avez mise en commentaire sous une réponse, n’est pas du même type que la première. Il ne s’agit plus d’identifier le sujet d’un verbe (qu’est-ce qui est martelé ?), mais le COD d’un verbe (j’ai eu quoi ?). Et demander « j’ai eu quoi ? », c’est chercher l’antécédent du pronom relatif « que ». La réponse de PhL est surréaliste. Si vous avez eu un seul contrat, alors vous ne pouvez évidemment pas écrire « un des contrats que j’ai eu/eus », ce n’est pas une question d’accord.

Bien qu’il ne vous soit pas apparu nécessaire de perdre dix secondes à terminer votre phrase, on peut deviner votre question. La réponse est qu’il faut le pluriel dans la relative et le singulier pour le verbe à suivre. Avez-vous eu des contrats ? Oui j’en ai eu trois. Alors écrivez : trois contrats ; les trois contrats que j’ai eus ; un des trois contrats que j’ai eus. C’est aussi simple que ça, il faut partir de petites propositions élémentaires. Et c’est le verbe principal de la phrase qui devra être conjugué au singulier : un des [trois contrats que j’ai eus] a duré six mois.

N’écrivez pas des suites mots au hasard pour demander comment les « accorder ». N’utilisez de phrases contenant une proposition relative que quand vous pouvez écrire deux propositions indépendantes :
— j’ai eu trois contrats
+ un de ces trois contrats a duré six mois
= un des trois contrats que j’ai eus a duré six mois

Le français n’est pas un enseignement.
On ne martèle pas le français.
On ne martèle pas un enseignement.
On n’utilise pas le passé composé pour exprimer une action qui dure depuis une certaine date.
Un verbe ne s’accorde pas.
Écrivez une phrase bien claire, et vous verrez que quand on comprend le sens, on n’hésite pas. On conjugue simplement chaque verbe selon son sujet. Quand on écrit un verbe, et qu’on s’aperçoit après coup qu’on en ignore le sujet, c’est qu’il ne fallait pas écrire ce verbe. Ne conjuguez jamais un verbe avant d’en avoir identifié le sujet.

Un verbe pronominal de sens réfléchi n’a jamais requis un accord avec le pronom : elle s’est demandé si… elle s’est fait la malle… Oubliez cette idiotie, répétée sur ce site en boucle depuis bientôt dix ans (il faudra d’ailleurs penser à supprimer ces centaines de réponses fausses lues des dizaines de milliers de fois).

C’est seulement parce que le pronom n’est pas analysable et que le verbe est utilisé ici dans un sens obligatoirement pronominal (elle s’est cassée, je ne l’ai pas cassée) et sans COD (elle s’est cassée, elle ne s’est pas cassé un bras), qu’il faut l’accorder selon le sujet comme dans « je me suis enfuie, je me suis taillée, je me suis barrée« …

Vous demandez peut-être si on peut dire indifféremment :
— Ô combien c’était difficile.
— Ô que c’était difficile.
Les constructions sont assez similaires, mais apparemment seule la première est valide dans nos livres. Peut-être, en plus de l’usage, y a-t-il une autre raison ? difficile à dire.

Mon dictionnaire signale cependant deux exemples atypiques, et oraux, d’un « ô » mis possiblement pour « oh » signés Hugo et Balzac, mais sans explication. Disons que c’est possible mais non justifié.

En fait, je pense que vous devez deviner l’intention de la personne qui dit cela. La bonne graphie n’est pas celle réputée acceptable, même si elle s’éloigne du sens voulu, ou du style du locuteur ; c’est celle qui est la plus proche de l’intention de la personne qui a dit la phrase, même si la forme est rare ou réputée incorrecte. Si la personne qui a dit cela est capable de dire par ailleurs « ô combien nous avons souffert », écrivez « ô ». Si elle est capable de dire « oh qu’est-ce qu’on en a chié », écrivez « oh ». Selon moi, la construction impersonnelle « il était difficile », si elle est réellement celle du témoin, plaide pour un formalisme en « ô ». Simple impression.

On ne peut pas répondre si vous arrêtez votre phrase en plein milieu.
D’abord, terminez la phrase :
(1) — C’est grâce à l’éducation qu’elle [nous a transmis ces valeurs].
(2) — C’est grâce à [l’éducation qu’elle nous a transmise] que nous portons ces valeurs.
Dans un premier temps, on saura au moins où situer le COD du verbe transmettre.

Si on est dans le cas (1), aucun accord.

Si on est dans le cas (2), la question consistera à identifier le COD antéposé, car il est potentiellement double : « à sa foi et à l’éducation chrétienne ».
Donc, « qu’elle nous a transmis » sera impossible, on ne peut hésiter qu’entre « qu’elle nous a transmise » (l’éducation) et « qu’elle nous a transmises » (la foi et l’éducation).

Il faut chercher si la proposition relative est qualificative ou déterminative.

(2a) — relative déterminative :
Le premier terme est clairement déterminé par un possessif. Il est impossible de dire « son crayon qu’il m’a donné », on doit choisir entre « son crayon » et « le crayon qu’il m’a donné ». La double détermination n’est logiquement pas possible. Donc la proposition relative déterminative ne s’applique qu’au deuxième terme : « l’éducation chrétienne ». On ne peut pas dire « sa foi qu’elle nous a transmise ». On écrit ainsi :
— sa foi et l’éducation chrétienne qu’elle nous a transmise sont importantes

(2b) — relative qualificative
— sa foi et l’éducation chrétienne, virgule, qu’elle nous a transmise(s), virgule, sont importantes
Avec d’autres mots et d’autres sens, d’autres phrases, les deux accords seraient possibles :
— [mon père et des amies de la famille], que j’ai invités, sont arrivés
— mon père et [des amies de la famille, que j’ai invitées], sont arrivés
Si là était votre question, on doit récuser l’accord au pluriel pour deux raisons convergentes :
* l’absence de virgule dans votre phrase
* « l’éducation chrétienne » n’a pas une valeur absolue comme COD, et nécessite une relative déterminative plutôt que qualificative (on ne peut pas dire « il ma donné l’éducation chrétienne »).

On peut imaginer que votre phrase est à comprendre ainsi, en précisant le premier terme par un possessif, et le deuxième par une relative déterminative :
Grâce à deux choses :
— grâce à sa foi
+ grâce à l’éducation quelle nous a donnée
= grâce à sa foi et à l’éducation qu’elle nous a donnée

Notez au passage qu’on donne une éducation, et qu’on transmet des connaissances ou une foi ; l’éducation est l’intermédiaire ; on ne transmet normalement pas l’éducation (ce n’est pas forcément impossible non plus dans un sens courant).
Notez aussi que pour le mot « foi », avec un article défini plutôt qu’un possessif, on pourrait considérer que « la foi » n’est pas obligatoirement déterminée syntaxiquement, et dans ce cas les deux accords seraient possibles.
— grâce à la foi et à l’éducation qu’elle nous a données
— grâce à la foi et à l’éducation qu’elle nous a donnée

« avoir dû être offert »…
Trois auxiliaire : avoir, devoir, être.
Pourquoi focaliser sur avoir quand vous alignez trois auxiliaires ?

La phrase que vous cherchez est probablement :
— Deux places m’avaient été facturées alors que l’une d’entre elles m’était due.

Le verbe « devoir » est-il obligatoirement un auxiliaire (introduit-il un autre verbe) ?
— Ils doivent nous offrir une place / ils ont dû nous offrir une place / la place qu’ils ont dû nous offrir
Ou le verbe « devoir » peut-il avoir son sens autonome et être simplement transitif ?
–Ils nous doivent une place / ils nous ont dû une place / la place qu’ils nous ont due

Si vous acceptez cette construction (« devoir une place » au lieu de « devoir offrir une place »), alors vous pouvez devoir une place, la place peut être COD du verbe devoir, et vous pouvez accorder le participe passé « dû » selon le COD, et donc écrire « due » dans « la place qui leur était due ».

Il n’y a ni ambiguïté ni choix à faire dans votre phrase, et donc aucune autre possibilité d’accord, mais cela arrive dans des phrases assez proches (exemple idiot : les sommes que j’ai dues, ou les sommes que j’ai du régler ?). Était-ce votre question ?

1.
Dans le sens « demander de faire », « ordonner de faire », oui, on peut demander quelque chose à quelqu’un sans lui parler.
— Le chef vous demande de lui apporter ceci ou cela.
— Le directeur vous ordonne de monter à son bureau.
Dans le sens de « demander si », « poser une question », c’est-à-dire dans une question transmise, non : le fait qu’il y ait un intermédiaire empêche de modifier les COD ou les COI comme on le souhaite.
— Il m’a dit de vous observer, il ne vous a pas observé.
— Il m’a dit de vous demander cela, il ne vous a pas demandé cela.
C’est possible si vous transmettez une demande qui a été réellement adressée à la personne :
— Dans ce courrier que je vous remets, le chef vous demande si…
Mais sinon non. « Le chef souhaite savoir si vous…, il m’a demandé si vous…, il m’a demandé de vous demander si vous… » n’est pas simplifiable en « il vous a demandé si… ».
Pareil avec le verbe « dire », en ajoutant que le sens « dire » réclame encore davantage le rapport direct pour être utilisé. « Dire » dans le sens « ordonner » a existé il y a plusieurs siècles.

2.
* « Demander un élève » n’existe ni à l’oral ni à l’écrit pour dire « demander à un élève de venir ». Pour cela, nous avons le mot « convoquer ».
* « Il veut voir cet élève » est évidemment possible, mais on n’y retrouve pas toute l’intention que vous souhaitez y mettre : « il m’a demandé de dire à cet élève qu’il veut le voir dans cinq minutes dans son bureau ».
* Entre « ta mère a dit qu’tu r’viennes » et « vous êtes mandé par madame votre mère », il y a un fossé, mais les deux phrases sont correctes et synonymes, toutes les deux dans un style ancien. Seul le contexte décide de tel ou tel usage, et c’est bien l’objet de votre question, nous l’avons tous noté.
* « On m’envoie chercher cet élève » est possible, mais je ne dirais pas comme vous « simplement« , car, puisque c’est bien construit, et dans une syntaxe peu courante, cette phrase risque d’être ressentie comme une agression psychologique ou symbolique par nos collégiens actuels. Je vous la déconseille fortement. Personnellement, je n’utilise pas ce style de phrase bien construite devant n’importe qui.

3.
Que dirait donc un assistant, parlant couramment français, dans un collège français, pour être compris simplement par des élèves français ?
Si c’est un ordre poli, vous pouvez dire :
— Le directeur demande à Paul de de se rendre immédiatement dans son bureau.
— Paul, le directeur te demande te rendre immédiatement dans son bureau.
Correct, poli, respectueux, facile à comprendre, clair, ni artificiel, ni familier.

« Valeurs«  est féminin pluriel, donc accordez au féminin pluriel : « chères« .

Mais lisez aussi ce qui suit.

Dans une phrase, on met au moins un verbe. Vous n’avez pas ici de phrase. Faites des phrases et vous verrez que c’est tout de suite plus facile de décider des accords.
— Nos valeurs sont la qualité, l’innovation et le service. Ces valeurs sont chères à notre fondatrice.
Il y a deux informations importantes dans les deux phrases ci-dessus, et pour vous toujours aucun verbe, comme si c’étaient des informations anecdotiques, alors qu’elle devraient être au centre du discours. C’est à la troisième information que vous finirez par mettre un verbe ?

Vous voyez au passage que les valeurs, comme tous les noms, prennent de préférence un déterminant, et quand on les coordonne, on met une conjonction de coordination avant le dernier terme :
— la qualité, l’innovation, et le service…
Je n’avais jamais pensé que le service puisse être appelé une valeur, mais c’est possible.
Je n’avais jamais pensé à compter des valeurs, mais c’est possible.
Apparemment, vous voulez faire le choix d’un style un peu percutant, sans verbes, sans déterminants, sans conjonction, en alignant juste des mots… C’est parfois possible, souvent ridicule, et toujours  difficile au milieu d’une phrase :
— « Qualité, innovation, service… trois valeurs. »

On ne peut pas mettre la ponctuation « deux points » au milieu d’une phrase comme ça.
— Ma cousine : Sophie est partie.
— Nos valeurs : le travail et la famille, sont fondamentales.
Utilisez des virgules, des parenthèses, des tirets d’incise, une proposition relative :
— Nos valeurs – qualité, innovation, service – sont chères à notre fondatrice.
— Nos valeurs, qui sont la qualité, l’innovation, et le service, sont chères à notre fondatrice.
Là encore, vous voyez mieux qu’il faut accorder l’adjectif avec valeurs.

Si le seul problème est de savoir si nous avons ici un participe passé conjugué avec l’auxiliaire « avoir » et un COD antéposé, la réponse est oui.
Le fait que l’auxiliaire « avoir » soit ici à l’infinitif ne change rien à LA RÈGLE :
— les mesures que j’ai prises
— les mesures que je ne me souviens pas avoir prises
— les mesures qu’il aurait fallu que j’aie prises
— les mesures qu’il eût fallu que nous eussions prises
— les mesures que j’étais censée avoir prises