Deux constructions possibles :
Sujet après le verbe : — Quand se tiendra la réunion ? Où doit se tenir cette réunion ? En quoi va consister ce projet ?
Sujet avant le verbe, repris par un pronom : — Quand la réunion se tiendra-t-elle ? Où cette réunion doit-elle se tenir? En quoi ce projet va-t-il consister ?
Donc, en plaçant le sujet « cela » devant le verbe, il faut le reprendre par un pronom : en quoi cela va-t-il consister ?

Le nom des temps du subjonctif :
— il eût, c’est du subjonctif imparfait, comme je marchasse ou nous vinssions
— il eût + participe passé, c’est du subjonctif plus-que-parfait, comme j’eusse marché ou nous fussions venus
Il s’agit respectivement d’équivalents dans le passé du subjonctif présent et du subjonctif passé :
— Je veux qu’il vienne, qu’il ait des cadeaux et qu’il soit content –> Je voulais qu’il vînt, qu’il eût des cadeaux et qu’il fût content
— Je suis triste qu’il ait déménagé, qu’il soit parti –> J’étais triste qu’il eût déménagé, qu’il fût parti

Généralement, il suffit de commencer par réfléchir au mode au présent, et d’appliquer ensuite la transposition :
La phrase 3.
* Si au présent vous utilisez le subjonctif passé, remplacez-le au passé par le subjonctif plus-que-parfait :
— ce sont des brigands dont le seul nom qu’on leur ait trouvé dit la brutalité
— c’étaient des brigands dont le seul nom qu’on leur eût trouvé disait la brutalité
* Si au présent vous utilisez l’indicatif passé composé, remplacez-le par l’indicatif plus-que-parfait :
— ce sont des brigands dont le seul nom qu’on leur a trouvé dit la brutalité
— c’étaient des brigands dont le seul nom qu’on leur avait trouvé disait la brutalité
Bref, réglez le problème au présent, et seulement dans un second temps transposez vers le passé.
Pour ce qui est de régler le problème au présent, j’ai réfléchi un peu, et la phrase me semble tellement mal fichue qu’il n’y a pas de solution quant au mode à employer. Il faut restructurer. On dirait une fusion entre d’une part une information qui demande l’indicatif (ce sont des brigands dont le nom-qu’on-leur-a-trouvé dit la brutalité) et d’autre part une volonté de placer la notion de seul nom possible, demandant le subjonctif (X est le seul nom qu’on leur ait trouvé). Si c’est là l’intention de l’auteur, il faut deux propositions (ce qui évitera au passage le dont/leur). Ou entrer dans une construction très analytique : le fait que le nom de X soit le seul nom qu’on leur ait trouvé dit bien que… Je pense que cela exprime effectivement l’idée de l’auteur, mais avec cette explicitation on quitte carrément la littérature ; il faut séparer les deux idées.

La phrase 2.
Au présent, il faudrait écrire :
— Leurs regards s’accrochent avec tant d’intensité que plus rien n’a d’existence
Donc on écrit au passé :
— Leurs regards s’accrochaient avec tant d’intensité que plus rien n’avait d’existence
Dans un premier temps, vous voyez qu’il ne faut pas de subjonctif ici, et qu’il faut plutôt l’indicatif imparfait.
Ensuite, est ce que eut, sans accent, c’est-à-dire un indicatif passé simple, est acceptable ? Si l’auteur a écrit ainsi, peut-être que c’est ce qu’il voulait, mais alors il aurait dû mettre également un passé simple dans la principale, et même ajouter un adverbe si possible, afin de décrire un instant, et non pas un état durable :
— Leurs regards s’accrochèrent avec tant d’intensité que soudain plus rien n’eut d’existence

La phrase 1.
C’est un cas particulier. Il existe de nombreux usages du subjonctif, et en principe un subjonctif imparfait ou plus-que-parfait est toujours l’équivalent, transposé dans le passé, d’un subjonctif présent ou d’un subjonctif passé, comme exposé ci-dessus. Vous avez ici l’exception : un indicatif imparfait ou plus-que-parfait mis pour exprimer une hypothèse est remplaçable en littérature classique par un subjonctif plus-que-parfait. Certains usages sont même très naturels et très fréquents, bien qu’il n’existe pas de phrase équivalente au présent (c’était comme s’il eût craint une menace, il marchait comme s’il eût été pressé, il se conduisait comme s’il eût vécu en Italie). C’est un sens du subjonctif (l’hypothèse, l’irréel) hérité du latin et qui perdure dans ce type de phrases.
Votre phrase est donc correcte, du moins en ce qui qui concerne la conjugaison.

Il n’y a pas de raison logique évidente pour supprimer le pronom réfléchi de l’infinitif introduit par l’auxiliaire faire :
— je me suis retourné –> un bruit m’a fait me retourner
— nous nous réfugions –> la pluie nous fait nous réfugier dans un café
— ils sont venus, ils se sont déplacés –> je les ai fait venir, je les ai fait se déplacer
On le supprime cependant souvent :
— les pompiers se sont déplacés à ma demande –> j’ai fait déplacer les pompiers, le les ai fait déplacer
(les pompiers semble ici presque devenir COD mais il reste bien sujet de l’infinitif)
Même avec des verbes essentiellement pronominaux, il arrive que le pronom saute après faire :
— on les a vus s’évader, on les a fait évader
Mais ce n’est pas toujours conseillé :
— je souhaite la faire s’évader dans la lecture
C’est presque la norme de supprimer le pronom avec certains verbes :
— ça va nous faire (nous) lever tôt, je les ai fait (s’) asseoir
C’est même obligatoire avec le verbe se taire :
— je l’ai obligé à se taire –> je l’ai fait taire

Il y a forcément de bonnes raisons à ces différentes possibilités ou impossibilités, mais la grammaire française est encore dans son enfance, et je ne connais pas de synthèse sur le sujet. Phrase par phrase, on trouve toujours un début d’explication à la double possibilité, mais il n’existe pas dans les livres de grammaire courants, ni en ligne, d’analyse rigoureuse de ce phénomène.
Ni des raisons syntaxiques (pronom analysable comme COD, comme COI, ou pas analysable), ni des listes de verbes se construisant d’une manière ou d’une autre, ni des raisons sémantiques (par exemple plusieurs niveaux pour le verbe auxiliaire faire, ou selon le type d’infinitif introduit), ni la question d’un double emploi pléonastique du pronom (une fois pour l’auxiliaire et une fois pour l’infinitif)… ne permettent de proposer une réponse claire ou systématique.

Pour le cas particulier de votre phrase (me faire me sentir mieux), il est clair que l’usage n’autorise pas de supprimer le pronom, mais la raison pour laquelle la suppression est possible dans d’autres cas de figure et pas ici est très obscure.
Vous ne vous tromperez pas en conservant systématiquement le pronom (sauf pour se taire). Vous pourrez ensuite le supprimer au cas par cas, mais uniquement pour des verbes que vous aurez vus construits ainsi par des auteurs de référence ou dans un usage populaire avéré.

Si vous pouvez ajouter l’adverbe bien, alors, vous pouvez ajouter moins bien ou mieux.
On peut être plus ou moins propre : moins propre, plus propre. Mais pas plus ou moins bien propre.
On peut être plus ou moins bien habillé : moins bien habillé, mieux habillé.
Votre question revient donc à savoir si on peut être plus ou moins bien avisé donc moins bien avisé, mieux avisé, la réponse est oui, on trouve des exemples par milliers.
Le sens de « avisé » se spécialise il est vrai vers « bien avisé », contraire de « mal avisé », et dans ce cas il faudrait dire « plus avisé », mais le sens neutre est encore très courant, évidemment comme participe passé (il a été avisé par ses services, mais mal avisé, il aurait dû être mieux avisé) mais aussi comme adjectif dérivé quand on laisse une part à l’évaluation de la qualité du jugement (vous auriez été mieux avisés d’accepter cette proposition).

Conjuguez toujours selon le sujet, mais votre hésitation vient probablement du fait que la construction impersonnelle est fréquente :
— Il s’ensuivit des années de famine.
— S’ensuivirent des années de famine.

Notez également que le verbe « s’ensuivre » ne traduit pas une simple chronologie, mais un rapport de cause à conséquence. Vérifiez que votre phrase découle bien de la phrase précédente.

Nous ne sommes pas ici dans le simple cas d’une dislocation avec reprise d’un élément par un pronom :
— ton idée, elle est intéressante
— elle est intéressante, ton idée
Si nous étions dans ce cas, on voit que le pronom reprenant « l’idée » serait « elle » et non « ce ».
Ces constructions traduiraient l’intention d’insister sur telle ou telle partie de la proposition en la détachant en tête de phrase (ici au choix le nom ou l’adjectif).

La situation que vous nous présentez est différente, et le pronom « ce » a ici une tout autre fonction que de reprendre le sujet (ce qu’aurait fait le pronom « elle »). Selon qu’on ajoute ou non le pronom démonstratif neutre au milieu de la phrase, on en change la structure et le sens. Loin de reprendre le sujet , le pronom « ce » le transforme au contraire en attribut.

* Si la question est présentée sous la forme : pronom interrogatif attribut + verbe être + sujet :
— Quel est votre animal préféré ?
la réponse est logiquement structurée sous la forme : sujet + verbe être + attribut :
— Mon animal préféré est le chat.
Le sujet est « mon animal préféré », il est placé avant le verbe, et n’est pas repris par un pronom neutre. On n’ajoute pas de pronom neutre au milieu de la réponse.
* L’utilisation du présentatif « ce » devant le chat en fait le sujet de la phrase :
— Alors votre animal préféré, c’est le chat ? C’est le chat qui est votre animal préféré ? Oui, le chat est mon animal préféré. C’est le chat mon animal préféré. Mon animal préféré c’est le chat.
L’utilisation du « c’est » précise que le sujet est « le chat » et que l’attribut est « mon animal préféré », c’est même une technique donnée souvent pour identifier le sujet d’une phrase. Ce n’est pas une réponse à la question « quel est votre animal préféré ? ».

Venons-en à votre phrase. Vous avez compris que la seule chose à faire est d’identifier le sujet.

Si la question est (attribut + verbe + sujet) :
— Quelle est l’idée ?
la réponse doit être (sujet + verbe + attribut) :
— L’idée est de travailler en synergie
Il ne faut pas ajouter de pronom neutre au milieu de la phrase.

Si vous pouvez remplacer votre phrase « l’idée est de travailler en synergie » par la phrase « l’idée consiste à travailler en synergie », alors vous aurez montré que « l’idée » est le sujet de la phrase, et il ne saurait dès lors être question d’intercaler un pronom neutre au milieu de cette phrase, celui-ci ne pouvant introduire de sujet. Dans ce sens, écrire « l’idée c’est de travailler » serait aussi incongru qu’écrire « l’idée ça consiste à travailler ».

Les deux critères que j’ai donnés ci-dessus plaident pour que « l’idée » soit bien le sujet de votre phrase, donc sans possibilité de pronom neutre au milieu de la phrase.
Maintenant, est-il possible que votre phrase ne réponde pas à la question « quelle est l’idée ? » et qu’elle ne soit pas équivalente à « l’idée consiste à… » ? Dans ce cas, il ne serait pas forcément impossible de créer un contexte dans lequel « travailler en synergie » serait le sujet de la phrase, et où « l’idée » serait l’attribut.
Il est clair que « l’idée du siècle » peut faire un bon attribut : ce projet me semble être l’idée du siècle.
Mais comment un simple « l’idée » peut-il être un attribut ? : ce projet me semble être l’idée…
Donc non, on ne doit pas écrire « l’idée c’est de travailler en synergie ».

On écrit « un bassin à flot » pour désigner un bassin où il y a suffisamment d’eau, même à marée basse, pour que les bateaux flottent.

Les verbes transitifs peuvent, par principe, se construire pronominalement avec un sens réfléchi : — Je la coiffe d’un chapeau, elle se coiffe d’un chapeau. — Je la décoiffe, elle se décoiffe. Si « déparer quelqu’un de ses bijoux » peut se dire pour « lui retirer ses bijoux », il n’y a pas d’autorisation à demander pour utiliser la forme pronominale, et « se déparer de ses bijoux » est valide et bien construit. Il n’est pas nécessaire que le sens réfléchi soit mentionné dans un dictionnaire, même si c’est le cas quand l’utilisation pronominale est fréquente (parer / se parer).
Donc juste deux vérifications à faire :
* Déparer : Le sens « déparer » pour « enlever les ornements » existe bien, même si ce n’est pas le sens le plus fréquent de ce verbe. Le dictionnaire TLF signale ce sens comme vieux. Dans le Littré vous lirez les exemples : « Déparer une église, en ôter ce qui la pare. Il faut déparer l’église pour la tendre en deuil. »
* Déparer de : Elle se couvre d’un chapeau, elle se découvre, mais se découvre-t-elle de son chapeau, et peut-on se découvrir d’un manteau ? Elle se pare de bijoux, elle se dépare, mais se dépare-t-elle de ses bijoux ? Apparemment oui, Théophile Gautier parle ainsi de décoiffer une bouteille de son casque de cire, et on trouve de nombreux exemples quand il s’agit de préciser ce qu’on ôte : — Narcisse se décoiffa de son béret rouge — Il se décoiffa de son panama — il se déchaussa de ses sabots — le lac se découvre de ses glaces…
Votre construction est donc valide. Voici une utilisation par Diderot en 1780, avec à la fois le sens voulu de « déparer » et le complément en « de » :
— elle avait déparé sa cellule d’estampes, d’ustensiles, de meubles et d’une infinité de choses agréables ou commodes, pour en orner la mienne

On ne récapitule pas un nombre. C’est peut-être ce mauvais début de phrase qui vous empêche d’accorder clairement.
— Il compte les points gagnés
— Il récapitule les points gagnés
— Il annonce le nombre de points gagnés
— On note le nombre de points annoncé
— On note le nombre de points gagnés
Quand les mots sont clairs, on ne se trompe jamais. Ce sont les points qui sont gagnés et comptés. C’est le nombre de points qui est annoncé.

Vous demandez quelle construction est préférable :
— une chose dont je doute de l’existence
— une chose de l’existence de laquelle je doute

La première réponse que vous recevez est qu’il faut dire :
— une chose dont je doute de l’existence
peut-être parce que le parallèle est flagrant avec :
— une chose dont je connais l’existence
et cette façon de dire est en effet assez fréquente.

La deuxième réponse que vous recevez est qu’il faut dire :
— une chose de l’existence de laquelle je doute
comme on dit dans un parallèle évident :
— une chose à l’existence de laquelle je crois
parce que de façon générale, les subordonnées introduites par « dont » ne peuvent avoir un antécédent lui-même introduit par « de », cette réponse étant en accord avec les recommandations de l’Office québécois de la langue française, très souvent invoqué ici.

Donc, vous avez proposé deux possibilités, manifestement parce que vous ne savez pas trancher entre elles, et vous avez reçu deux réponses opposées. Je souhaiterais savoir comment vous avez sélectionné la bonne réponse.
Comme il s’agit d’un exercice, je pense qu’une règle vous a été exposée, mais que vous peinez à l’appliquer. Pouvez-vous retrouver cette règle et la recopier ici ?