Vous ne pouvez pas utiliser cette conjugaison au présent dans un texte au passé. L’expression « Dieu sait que » n’est pas plus invariable que les expressions « il va pleuvoir demain », « si ça se trouve », ou « on le sait bien ».

Dans un texte au passé, l’irruption du présent dans une proposition traduit de toute façon une présence de l’écrivain, du narrateur, du lecteur, de la vérité telle qu’on la connaît aujourd’hui… Il n’est pas possible d’utiliser « comme tout le monde le sait » ou « Dieu sait que » dans un texte au passé simple sans ajouter une approche « vu du présent ».
Donc, si votre texte est écrit nettement au passé, vous ne pouvez pas y intégrer cette expression au présent.
Par ailleurs, si votre texte est écrit nettement au passé, vous ne pouvez pas non plus y intégrer cette expression au passé si vous ne savez pas ce qu’est ou était Dieu en ce temps-là, en ce lieu-là, dans cette civilisation-là.
Du coup… cette expression n’est jamais utilisable dans un récit au passé dé*** cté du présent du narrateur, de la civilisation du narrateur.

Admettons cependant que votre texte soit rédigé entièrement au passé composé.
Le passé composé est d’abord un temps du présent, déictique, et dans ces situations le présent pour parler de Dieu ou de vérité générale est la norme :
— Il est venu lundi, Dieu seul sait pourquoi. Il est reparti mardi. Il est mort mercredi.
Si votre texte est un récit, écrit au passé composé mais ayant valeur de temps passé accompli, la logique syntaxique vous autorise tous les présents intercalaires que vous souhaitez. Mais ils restent cependant des présents de l’écrivain.
— Il est venu un lundi, Dieu seul sait pourquoi. Il est reparti un mardi. Il est mort un mercredi.

Donc, d’un côté, vous ne pouvez pas utiliser « Dieu sait que » dans un texte historique au passé simple, cela n’aurait aucun sens, et d’un autre côté, l’époque, le lieu, la religion en place, limitent fortement même l’utilisation déictique.
Vous pouvez utiliser « Dieu sait que » dans tous vos textes écrits au présent, et également dans vos récits écrits au passé composé dans la mesure où aucun conflit n’apparaît (il faut que ce soit à peu près le même Dieu, dans des religions assez proches, dans des époques et des systèmes sociaux proches).
Mais vous ne pouvez pas utiliser cette expression, ni au présent, ni au passé, dans les autres cas.

Vous souhaitez respecter cette concordance : s’il pleut, je sortirai / s’il pleuvait, je sortirais.
Dans votre phrase, vous proposez d’utiliser le premier système, celui de l’examen d’une possibilité, de mettre la condition au présent, et c’est une bonne idée. Vous présentez en effet plus qu’une hypothèse, mais un choix à faire, et une phrase comme « si ça marche je t’appelle » perdrait de son sens en situation de pure expérience de pensée « imparfait + conditionnel » : « si ça marchait je t’appellerais ».
Donc d’accord pour la condition au présent. Pourquoi alors le conditionnel est-il possible dans la conséquence ? Il ne l’est pas réellement. Il l’est ici uniquement pour le verbe pouvoir, employé comme auxiliaire modal, qui accepte le conditionnel pour nuancer l’indicatif : politesse, suggestion, éventualité, incertitude… Ce conditionnel n’est absolument pas demandé par le temps de l’hypothèse en « si », il ne s’intègre pas au système « si tu voulais on irait », mais on reste bien dans le système « si veux on ira ». On intercale simplement un « pourrait » qui ne joue aucun rôle dans l’hypothèse en « si… alors ».
— S’il pleut, on ira (et non irait) au cinéma… S’il pleut, on pourrait aller au cinéma…
— Si on ne fait pas gaffe, on fera (et non ferait) du mal à la planète… Si on ne fait pas gaffe, on pourrait faire du mal à la planète…
Donnez donc à votre élève tous les arguments que vous penserez nécessaires pour l’inciter à choisir l’option « examen de possibilité » (indicatif présent + indicatif), avec une série d’exemples où la conséquence sera très clairement à l’indicatif, car « c’est la règle ». Puis, dans un second temps, montrez qu’on peut introduire un auxiliaire modal au conditionnel dans la conséquence, mais pour pour une tout autre raison que la règle que vous étiez en train d’étudier.

Bien que le verbe « imaginer » s’utilise de différentes façons, suivi parfois de l’indicatif (j’imagine qu’il viendra), et parfois du subjonctif (imagine qu’il vienne), ici, vous avez clairement choisi un sens appelant le subjonctif.
— Imagine qu’ils fassent cela…
— Imagine qu’ils aient fait cela…

Dans la construction en « c’est… qui… », on utilise deux subjonctifs ou deux indicatifs. Le deuxième verbe n’est en aucun cas indépendant du verbe introducteur « être ».
— Je sais que c’est Paul qui finit, qui finira, qui a fini, qui avait fini… le premier.
— Je crains que ce soit Paul qui finisse, qui ait fini… le premier.

Notez aussi que dans la construction en « c’est… qui… », on utilise le pluriel pour introduire un sujet réel pluriel : je crois que ce sont des jeunes qui… Préférez donc : imagine que ce soient des jeunes qui…

Le conditionnel n’a aucune raison d’apparaître sans prévenir dans votre phrase.

Enfin, tandis qu’à l’indicatif il y a une différence entre « je sais que des jeunes ont fait cela » et « je sais des jeunes avaient fait cela », ce double niveau n’existe pas au subjonctif, et on écrit pour les deux sens : je crains que des jeunes aient fait cela.

Pour votre phrase, vous devez donc écrire :
— Imagine que ce soient des jeunes qui aient fait cela.

Il existe bien des cas où deux verbes liés par un pronom relatif sujet peuvent avoir des modes (indicatif, subjonctif, conditionnel) différents, quand ils sont indépendants l’un de l’autre, et même parfois quand le premier est le verbe « être », mais pas avec la simple formule d’introducteur du sujet réel « c’est… qui… ».

Le verbe « parler » n’a jamais de COD, on ne parle pas quelque chose. Il ne s’accorde donc jamais avec son COD antéposé, puisqu’il n’en a jamais.
— Tu as parlé de cette dame.
— C’est la dame dont tu as parlé.
— Cette dame, tu en as parlé.
Vous voyez en passant que « tu as parlé » s’écrit avec un « s » à « as », et qu’on n’utilise pas ensemble « dont » et « en ».

On fait bien l’accord avec le COD antéposé, c’est la règle. Quand ce COD est « en », il est a priori neutre, car signifiant souvent « de cela ». C’est donc justement parce que « en » n’est pas mis pour « les toasts » mais pour « des toasts dans un certain nombre non précisé », c’est justement parce que « en » n’est pas mis pour « la bière » mais pour « de la bière », que ce mot est généralement partitif.
— Je lui ai donné de la bière. Je lui en ai donné.
— Je lui ai préparé des toasts. Je lui en ai préparé. Elle m’en avait préparé. De quoi ? de cela.

Un contexte, une construction, le cas particulier du « comme », ferait-il que le « en » aurait dans votre phrase un antécédent non partitif ? Ferait-il référence aux « des toasts » précédemment évoqués, auquel cas il serait effectivement clairement pluriel ?
Il est fréquent que le COI « en » ait un antécédent bien défini et non partitif : je t’ai parlé d’elle, je t’en ai parlé. Et en tant que COD : hier j’ai vu des amis, j’en ai vu(s) ? Il n’y a aucune notion partitive ici, je n’ai pas vu « de cela », ni même « d’eux », mais « des amis », bien connus de moi, dont je ne donne certes pas les noms, mais bien définis, et il n’y a pas de raison grammaticale pour ne pas accorder avec le « en » pluriel dont l’antécédent n’est pas un groupe nominal partitif, mais un groupe nominal bien défini, ayant pour seul tort d’avoir le déterminant « des ».
Y a-t-il une raison particulière pour laquelle vous estimeriez que dans votre phrase le COD « en » ne serait pas partitif et à ce titre ne mériterait pas de perdre son genre et son nombre lors de la pronominalisation ?

Il y avait le même problème dans votre question précédente, je n’ai pas insisté, pensant que l’anacoluthe, cette rupture de construction, était peut-être votre style :
— Arrivés à Metz, il commença à pleuvoir (quand nous fûmes arrivés à Metz)

Le participe passé précédant de près le sujet partagé avec un autre verbe est une construction simple et classique :
— Arrivés à Metz, nous descendîmes du train

Cette construction est réputée fautive quand elle met en concurrence deux sujets dont l’un non exprimé :
— Nous voyagions ensemble. Arrivés à Metz, mon fils descendit du train (nous arrivâmes, il descendit)
On la rencontre cependant.

En effet, mettre le participe passé initial au singulier retirerait totalement le narrateur de la situation :
— Nous voyagions ensemble. Arrivé à Metz, mon fils descendit du train (il arriva, il descendit)
Il n’y aurait alors pas de rupture de construction dans la phrase, mais une énorme rupture de construction dans le récit. Cette solution est à proscrire.

Pour éviter cette question, vous pouvez envisager de restructurer votre récit. Mais si par exemple c’est un enregistrement que devez transcrire, ou si simplement c’est votre pensée que vous refusez de modeler selon nos règles syntaxiques, mettez le participe passé au pluriel, en assumant la rupture syntaxique, mais surtout en respectant le sens :
— Nos invités voyageaient ensemble. Arrivés à Metz, chacun prit son sac et descendit du train.
Le participe passé s’accorde avec le nom auquel il se rapporte. Au prétexte du refus de l’anacoluthe, simple rupture syntaxique sans inconvénient majeur, décider d’accorder un participe passé avec un nom auquel il ne se rapporte pas serait une grave faute de français.
Si vous parlez d’un voyage entre amis, et que vous arrivez tous sur place ensemble, accordez le participe passé au pluriel, avec les membres du groupe :
— Une fois rendus sur place, chacun se remémora…
Cette rupture de construction est sémantiquement valide. On peut se demander pourquoi vous avez choisi d’éluder le sujet du participe passé rendu, on se doute qu’il se trouve dans la phrase précédente, on peut vous reprocher votre style, mais vous ne devez pas tenir compte obligatoirement de ces reproches. Si « rendu » s’applique à plusieurs personnes, il serait scandaleux de l’écrire au singulier pour que la phrase passe le contrôle syntaxique, changeant de sens au passage.

Pouvez-vous expliquer la fin de la phrase :
— chacun se remémora ce que cet endroit représentait pour eux
Si vous parlez de tous, préférez :
— tous se remémorèrent ce que cet endroit représentait pour eux
Si vous parlez de chacun, préférez :
— chacun se remémora ce que cet endroit représentait pour lui
Si vous avez une pensée complexe, explicitez :
— chacun, individuellement, se remémora ce que cet endroit représentait pour eux, collectivement

Avant de vous focaliser sur l’orthographe, ayez très clairement en tête à quel nom s’applique tel participe passé, à quelle réalité s’applique tel pronom, qui est « eux », qui est « chacun », et alors vous ne ferez pas de faute. Tout juste dérogerez-vous parfois à certaines conventions stylistiques, et vous pouvez bien le faire. Seul est condamnable le choix d’une orthographe pour respecter une norme au détriment du sens voulu.

Si pour vous la construction est claire et que ce n’est qu’une question d’orthographe, décidez en passant de la troisième à la première personne :
— Nous faisons nos parts du travail –> Ils font leurs parts du travail
— Nous faisons notre part du travail –> Ils font leur part du travail
Il n’y a pas de règle particulière pour leur/leurs, mais juste une homophonie, qui n’existe pas pour notre/nos.
Les homophonies existent pour bien d’autres mots, ou pour des conjugaisons, et on focalise beaucoup trop sur celle-là.

Si c’est une question de sens, et qu’elle porte sur le nombre de parts, c’est selon ce que vous mettez en parts. On peut distribuer des parts de gâteau ou revendre des parts sociales, mais il n’y a pas de parts de chance dans des réussites, il y a seulement une part de chance.
Testez donc le remplacement par « des » pour savoir si « leurs » est possible :
— Ils ont une part de responsabilité –> Ils ont leur part de responsabilité
— Ils ont des parts de responsabilité –> Ils ont leurs parts de responsabilité
De même que « un peu de » ne se met pas au pluriel, « une part de » ne se met pas au pluriel quand il ne représente pas « une part » avec un complément précisant ce mot, mais sert en fait de déterminant à ce mot principal.
Dans votre phrase, qu’on parle des juges collectivement ou individuellement, ils ont une part de responsabilité. Nous ne sommes pas ici dans un cas où un accord ou une absence d’accord apporterait une focalisation sur un mot ni une nuance entre leurs parts cumulées et leur part à chacun.
En revanche, si la question avait porté sur le début de la phrase (dissimulés sous leur perruque / dissimulés sous leurs perruques), on aurait pu aborder ces considérations.

Et…
* C’est en dernier que vous auriez dû poser la question sur « leur/leurs », après avoir choisi entre « serait » et « seraient » (pourquoi avoir choisi le pluriel ?), après avoir choisi entre « moindre » et « moindres » (pourquoi avoir choisi le singulier ?). Il faut réfléchir au nombre, de façon libre, et ne pas s’enfermer dans des considérations sur les accords et d’éventuelles règles ou exceptions, qui généralement n’existent pas.
* On utilise le dénombrable « des responsabilités » pour des évoquer des tâches, des responsabilités pratiques qui nous sont attribuées (il a peu de responsabilités dans cette entreprise), et le théorique indénombrable « la responsabilité » pour le fait d’être responsable (il a peu de responsabilité dans le choix de cette entreprise). Dans votre phrase, utilisez obligatoirement le singulier.
* Faites gaffe à l’anacoluthe.

Oui, le premier « que » mis pour « la lettre » est COD du verbe « écrire » et non du verbe « commencer », dont le participe passé reste donc invariable : « commencé ».
Le deuxième « que » mis pour « la lettre » est COD du verbe « laisser », donc on accorde : « laissée ».
— la lettre qu’elle avait commencé à lui écrire
— la lettre qu’elle avait laissée sur la table

Le complément d’objet direct est « quelle destination », féminin, placé avant le participe passé d’un verbe conjugué avec l’auxiliaire avoir. Il faut faire l’accord.
Que ce COD soit mal défini, que la question porte sur ce COD, cela ne lui enlève pas sa fonction, ni son genre, et ne modifie pas la règle d’accord, qui n’est qu’arbitraire. Cet accord n’a certes rien de logique, mais il n’y a pas d’autre considération à prendre en compte. Intuitivement, certains COD sont plus COD que les autres, ou moins clairement de tel ou tel genre, de tel ou tel nombre, mais cela n’importe pas, il n’y a pas de sens à considérer, et on écrit pour respecter la règle : les livres qu’ils ont lus, quels livres auraient aimé avoir lus vos élèves ?

Même à l’infinitif, même précédé d’un auxiliaire, le verbe « être » reste à considérer comme un verbe d’état, ou comme un auxiliaire dans une forme passive : elle est adressée, elle doit être timbrée avant d’être envoyée, elle peut être contente, elle va lui être remise…
Quant au pronom « lui », qu’on l’appelle complément d’attribution, complément d’objet indirect, complément d’objet second, il n’est ni sujet (ce qui compte avec le verbe être) ni complément d’objet direct (ce qui compte avec l’auxiliaire avoir), et ne joue donc aucun rôle dans l’accord.