À chaque fois que vous pouvez remplacer « avoir l’air » par « sembler », considérez que « avoir l’air » joue le rôle d’un verbe attributif, donc suivi d’un attribut qui s’accorde avec le sujet :
— Ils semblent étonnés d’apprendre que… –> ils ont l’air étonnés d’apprendre que…
— Ils semblent étonnés que je sois là –> ils ont l’air étonnés que je sois là
Voici un exemple où la transformation n’est pas possible :
— Ils ont l’air étonné qu’ont les coupables quand on les démasque (on ne peut pas écrire : ils semblent étonnés qu’ont les…)

Le Grevisse constate que l’accord avec « le reste » est fréquent mais constate aussi que l’accord avec le complément existe et cite : Le reste de l’aventure me fut contée par mon père (Helllens). Vous pouvez donc parler au féminin du reste de purée.

Vous avez vraiment validé la réponse « si une personne aurait » ? Vous pensez que c’est une marque de politesse que de mettre du conditionnel dans une subordonnée circonstancielle en « si » ?
L’autre réponse n’est pas tellement meilleure. Il n’y a aucun irréel, aucune possibilité d’imparfait modal dans votre phase. Vous ne voulez pas dire « si jamais quelqu’un se rendait à la conférence » mais « si demain quelqu’un se rend à la conférence ». Vous parlez clairement d’un cas, d’une condition.
Dans la subordonnée envisageant un cas, mettez deux indicatifs coordonnés, et poursuivez par un indicatif.
— Si une personne se rend à la conférence et a la possibilité de nous raccompagner à notre domicile, nous lui en serons reconnaissants.
N’utilisez jamais un conditionnel de politesse incongru au milieu d’une phrase.
N’utilisez jamais un imparfait d’hypothèse pour explorer l’avenir.

Dans le syntagme « nom + complément du nom », on dit que le mot principal est le noyau. C’est lui qui décide de la conjugaison et des accords. Le mot principal est le premier, le second mot n’étant qu’un complément.
— La maison de mes voisins est (et non sont) blanche (et non blancs)
— Le montant de l’aide est élevé (et non élevée).
Les seules exceptions sont quand le premier mot a valeur de déterminant ou précise le second :
— La plupart des gens sont… la majorité des gens sont (les gens, en majorité, sont)…

Dans votre phrase, le montant de l’aide est attribué, vous n’acceptez pas cela, parce que vous savez que c’est l’aide qui est attribuée, et que ce n’est pas le montant qui est attribué. Vous avez raison. La conclusion est simple : votre phrase est formellement incorrecte.

Sans verbe, il arrive que l’accord nécessite une petite réflexion.
— Le montant de [l’aide attribuée] = correct
— Le [montant de l’aide] attribué = incorrect pour une raison de sens, car on attribue une aide et non un montant

On écrit sans faute :
— Le montant de l’aide est calculé par l’administration
— Le montant de l’aide qui est attribuée…
Vous voyez que chaque participe passé s’accorde avec le nom sur lequel il porte :
— Le montant de l’aide attribuée est calculé par l’administration

Une fois que tout ce qui précède est compris, on peut apporter cette nuance, cette tolérance :
Il arrive que des mots désignant des quantités ou des mesures soient utilisés par métonymie pour désigner la chose mesurée et non sa mesure.
Comme on peut boire des litres de bière (les deux litres que j’ai bus), on peut, pourquoi pas, attribuer des montants d’aide (les montants que j’ai attribués). Si on a conscience qu’on parle du volume ou de la quantité, pour désigner ce dont on mesure le volume ou la quantité, votre phrase est acceptable (ce montant est attribué).
Mais cette possibilité ne vaut qu’en littérature ou en langage populaire. Dans un texte administratif ou juridique, dans un courrier, le participe passé attribué ne peut s’appliquer qu’à l’aide, et pas au montant. On ne doit trouver dans un texte ayant une valeur en droit ni le montant attribué ni ce montant est attribué.

Vous devez ici utiliser le pronom leur et non le déterminant possessif leur/leurs. C’est facile à repérer en passant au singulier, car au singulier les mots sont bien différents.
* L’équivalent du déterminant son est le déterminant leur :
— Son bonheur
–> Leur bonheur
* L’équivalent du déterminant ses est le déterminant leurs :
— Ses bonheurs
–> Leurs bonheurs
* L’équivalent du pronom lui est le pronom leur :
— Il lui est difficile d’accepter cela
–> Il leur est difficile d’accepter cela
— Tes bonheurs ne lui sont pas perceptibles
–> Tes bonheurs ne leur sont pas perceptibles

Notez aussi que les verbes d’état n’ont pas de complément d’objet, et que les pronoms ne s’accordent pas.

Il ne s’agit pas ici d’un conditionnel exprimant une hypothèse, mais de l’utilisation de ce mode et de ce temps (conditionnel présent) dans le cadre de la concordance des temps pour exprimer le futur dans le passé.
— Je suis sûr qu’il viendra demain. J’étais sûr qu’il viendrait le lendemain.
Pour désigner ce temps, on utilise généralement l’expression « conditionnel présent », et certains préfèrent « indicatif du futur dans le passé », on peut utiliser n’importe quels mots, c’est juste un nom qu’on donne à ce temps, nom qui est il est vrai trompeur. Il se trouve simplement que « je suis sûr qu’il viendra demain » se transpose dans le passé en, « j’étais sûr qu’il viendrait le lendemain ». C’est formellement et absurdement qu’on persiste à nommer « conditionnel présent » le temps qui sert de « futur dans le passé, parce qu’on le conjugue identiquement, mais non, ce n’est pas du conditionnel incertain, c’est juste une expression qu’on utilise, et il faut bien s’y faire.

Un objet peut revêtir un aspect, et un visage peut revêtir une expression.

Sur la réponse précédente…
* Le mot « de » est bien ici une préposition (juger de cela, en juger), mais sans rapport direct avec la question de l’accord qui nous occupe.
* Un verbe transitif direct peut très bien être suivi du mot « de » : craindre de tomber, boire de l’eau… Un verbe transitif indirect peut très bien ne pas être suivi du mot « de » : se souvenir que… La possibilité de supprimer le mot « de » n’a jamais été un critère pour identifier un COD, et ne suffit pas pour analyser « avoir de la considération » ou « manquer de considération ».
* L’absence d’accord avec le COD « en » (de l’eau, j’en ai bu) est dans les livres souvent justifiée par le sens partitif de ce pronom. Ce n’est donc pas en expliquant que le COD dans votre phrase est partitif qu’on justifiera qu’il faut accorder ; bien au contraire, cela ne peut que conforter les réfractaires dans leur idée de ne pas accorder avec un COD antéposé prétendûment partitif.
* Il n’y a pas d’article partitif dans votre phrase.
Quatre erreurs de raisonnement en deux phrases, c’est exagéré, et je vous suggère de ne pas valider la réponse qui précède.

Je pense que votre réticence à l’accord porte sur le sens global, où il semble que le COD exprime un niveau de considération et non une considération. Le sens est :
— il sait à quel point j’ai alors eu de la considération pour lui
— il sait la considération que j’ai alors eu pour lui
Peut-être accorde-t-on ainsi :
— il sait le peu de considération que j’ai alors eu pour lui
— il sait toute la considération que j’ai alors eue pour lui
On accorde avec le degré, car ce qu’il sait, c’est le niveau de considération, et non la considération ; car on ne peut pas savoir une considération ; car une considération ne peut pas être sue ; on accorde selon le genre du degré.
Nous n’avons pas ici de complément d’objet dans le sens premier du complément objet.
Or c’est sur le sens strict qu’a été établie il y a quelques siècles la règle de l’accord avec le COD antéposé. Que le terme « COD » ait depuis été utilisé pour nommer à peu près n’importe quoi suivant un verbe ne devrait pas permettre d’étendre la règle aux nouveaux venus dans la classification arbitraire et imbécile des compléments d’objet, incluant les COD purement syntaxiques.
Il y a clairement derrière « savoir la considération » ou « juger de la considération qu’il a » une mesure de la considération, une caractéristique, et non la considération elle-même. L’objet de la proposition est un niveau, une mesure, un degré.
Vous avez également remarqué qu’on a dans votre phrase un prétendu COD qu’on ne peut pas placer juste après le verbe comme un COD ordinaire (il a eu la considération). C’est encore un indice qu’on n’a pas rigoureusement un COD.
Donc, clairement, vous avez logiquement raison, le pronom « que » mis après » « la considération » n’est pas sémantiquement un COD antéposé, et à ce titre n’appelle aucun accord du participe passé, et ce pronom « que » n’a pas le nom « considération » pour antécédent.

Cependant, les tenants du COD syntaxique (expression contradictoire qui donc n’a aucun sens) mènent actuellement la danse, et l’administration des écoles comme les éditeurs demandent l’accord avec le COD formel antéposé pour respecter une règle apparue à une époque où les COD antéposés n’étaient pas des COD antéposés.
Si vous acceptez l’idée de COD syntaxique, c’est que vous abandonnez l’esprit de la langue française, et vous pouvez accorder idiotement au pluriel :
— que la postérité pût juger de la considération qu’il avait eue pour ses qualités
Si vous avez conscience que le jugement porte sur un degré, un niveau de considération, et qu’aucune règle ne demande donc aucun accord, n’accordez pas :
— que la postérité pût juger de la considération qu’il avait eu pour ses qualités
Actuellement, seul le dépourvu de sens « COD syntaxique » est accepté par les autorités françaises, et vous devez dans les examens accorder « eu » comme si son COD était « la considération », même quand vous savez que le COD n’est pas la considération mais un degré non genré de la considération.

On peut choisir un mode selon la signification du mot « idée » :
a) la certitude qu’il me croit morte et qu’il est triste
b) l’éventualité qu’il me croie morte et qu’il soit triste

Le verbe « ne pas supporter » peut avoir deux sens qui y sont associés :
a) souffrir à cette idée
b) craindre, refuser cette idée

Il y a donc deux interprétations distinctes :
a) Je souffre de cette certitude :
— Il croit que je suis morte. Il en souffre. Et moi je souffre de savoir qu’il souffre. Je sais qu’il croit que je suis morte et je se souffre à cette idée. Je souffre de savoir qu’il me croit morte. Je souffre à l’idée qu’il me croit morte. Je ne supporte pas l’idée qu’il me croit morte.
b) Je crains cette éventualité :
— Sans nouvelles de moi, il risque de croire que je suis morte et d’en souffrir. Je ne veux pas qu’il me croie morte. Je n’accepte pas qu’il me croie morte. Je ne supporte pas l’idée qu’il me croie morte.

Si vous étiez l’auteur, nous devrions vous interroger pour connaître le contexte et votre intention afin de vous conseiller d’utiliser l’indicatif ou le subjonctif. Mais le lecteur doit avoir la démarche inverse, et déduire l’intention à partir de la syntaxe. Puisque Sartre utilise l’indicatif, c’est qu’il se situe dans le cas (a). Vous n’avez pas à lui faire dire autre chose que ce qu’il dit. Peut-être que vous préférez le mode de l’éventualité après « je ne supporte pas », ou le mode du concept après « l’idée que », mais il faut accepter que Sartre utilise ici l’indicatif, et en comprendre deux choses : d’une part, quelqu’un croit effectivement que je suis morte ; d’autre part, je ne refuse pas cette idée mais j’en souffre simplement.

Comme les auxiliaires ne sont jamais eux-mêmes conjugués avec l’auxiliaire « être », et n’ont jamais de COD, ils sont logiquement invariables.

Est-ce que la vendeuse m’a laissée ? Non, elle m’a laissé croire. Le verbe « laisser » est ici utilisé comme auxiliaire du verbe « croire ». C’est pourquoi il est invariable.

Cette évidence a été combattue longtemps par les auteurs de manuels scolaires et les autorités officielles, qui voyaient de façon idiote un COD dans l’agent de l’infinitif (la vendeuse a laissé qui, elle a laissé moi, elle m’a laissée…), mais ce petit combat a été gagné par les grammairiens en 1990. On peut désormais sans craindre les foudres de l’État et les mauvaises notes des examinateurs, écrire logiquement « la vendeuse m’a laissé croire » comme on écrit « la vendeuse m’a fait croire ». L’ancienne écriture officielle préconisant l’accord, infondée, disparaîtra d’elle-même avec tous ceux qui l’avaient arbitrairement inventée.