Les principes typographiques français à appliquer sont les suivants :
1. Vérifier si le toponyme n’existe pas déjà vraiment et si l’emploi d’un nom propre de fiction (imaginaire) n’en parasite pas un autre déjà connu pour le contexte donné ;
2. Affecter la majuscule au premier substantif et aux mots éventuels qui le précèdent dans le nom propre ;
3. Ne pas mettre de majuscule aux mots suivants (sauf un autre nom propre).

En conséquence, pour vos exemples :
– les Montagnes rouges ;
– les Montagnes sauvages ;
– le Pays cornu.
Autres exemples à cornes :
– les Sept Pics du diable ;
– la Croupe de sainte Dudulle ;
– la Grande Fourche noire.

NB Les traits d’union ne sont une exigence que pour des noms déjà existants et répertoriés comme tels dans une nomenclature officielle.

Même si le contenu est dans une langue étrangère, le fait de citer est dans un ouvrage français et la typographie est en conséquence. Cela signifie que vous conservez les paramètres habituels ; guillemets français (avec espaces insécables), écriture en romain, ponctuation externe usuelle et signes spécifiques (comme […] pour une troncation).

La réponse est plus délicate qu’il y parait car les deux (son ou leur) peuvent s’employer selon la construction de la phrase. Il en va de même avec toutes les tournures du même type (à sa guise, à sa manière, à sa place, etc.).
1. Deux remarques préliminaires :
– dans cette expression, le mot tour est toujours au singulier ;
– la préposition à est optionnelle, sans variation de sens (chacun son tour, chacun à son tour).
2. C’est la fonction du pronom chacun qui détermine le possessif à utiliser : 
– Si le nom associé au pronom chacun n’est pas exprimé , c’est le singulier qui prime : À chacun sa chance,  chacun fera à sa guise, chacun son métier et les vaches seront bien gardées, chacun passera à son tour.
– Si ce nom ou pronom, forcément pluriel, est exprimé,  c’est le pluriel qui prime : Ils n’en firent chacun qu’à leur tête, les adultes agissent chacun à leur guise, les soldats passèrent chacun à leur tour.
Pour une même idée, on peut donc trouver les deux :
– Chacun regagna sa place ;
– Les enfants regagnèrent chacun leur place.
Il ne s’agit pas là d’une règle académique formellement exprimée, mais d’un constat de l’usage sur un grand nombre de tournures et de citations. On trouve donc des contre-exemples. Autrement dit, c’est une méthode commode pour ne pas faire d’erreur grave même si des variantes sont parfois possibles.
Vous trouverez d’autres commentaires dans le TLF-CNRTL (point A.I.3. notamment).

L’accord de l’adjectif seul est ici nécessaire avec les noms qui suivent et c’est d’ailleurs ce que l’on constate dans les publications.
Certains pourront défendre l’idée qu’en tête de phrase cet adjectif a une fonction adverbiale (= seulement) mais l’argument est tiré par les cheveux*. On dirait bien sans hésiter : « Seules la vérité et la transparence garantiront le résultat. »

*NB  Vous trouverez dans cette note de l’Académie française les explications sur les rares et tortueux cas d’invariabilité (ci-joint, excepté, y compris).

On peut utiliser aussi bien le singulier (générique) que le pluriel. On trouve même plus fréquemment « offres de travail » que de « travails » ou « offres de service » que de « services ». Dans le domaine juridique. on écrit régulièrement « des offres de preuve ».
En fait il n’y a pas de vraie nuance et dans beaucoup de cas courants, elle n’est même pas visible car le complément ne porte pas de marque du pluriel (offres de concours, de prix, de paix, etc.).

Pourquoi ne pas écrire simplement « ce sont les seuls policiers habilités à intervenir » ?
Sinon votre phrase est correcte mais un peu lourde. Vous pouvez aussi employer le subjonctif, courant avec un superlatif : « Ce sont les seuls policiers qui soient habilités à intervenir. » 

Il n’y a normalement pas lieu de commencer une phrase avec une incise entre parenthèses. Quelle est la phrase complète ? Si c’est une phrase sans verbe (formulation qui se généralise de nos jours au détriment de la syntaxe), il n’y a pas de solution satisfaisante, il vaut mieux reformuler.

Il me semble que l’italique serait la bienvenue pour l’ensemble du mot composé puisqu’il s’agit d’une création forgée pour le besoin : « un anti-dot« . Le trait d’union est de circonstance (non contraignant) et vous pouvez le laisser pour le jeu de mot.

Votre remarque est pertinente. En effet, si l’appréciation figure à l’intérieur d’une incise (entre virgules, parenthèses ou tirets), elle devient presque indépendante du reste de la construction de la phrase.
Si moins fort a bien une fonction adverbiale par rapport à remettre , il peut devenir adjectival une fois séparé du reste :  » Il remit la musique (moins forte, assourdie), saisit un rouleau […] »

Dans votre exemple, « cette infamie » est une incise, une apposition optionnelle qui n’entre pas en ligne de compte pour les accords dans la phrase. C’est bien avec le sujet réel, « le mal », que vous devez accorder :  » « Le mal, cette infamie, a été traité comme tel. »