On accorde selon le sens (accord dit par syllepse) selon que la tournure met en relief le groupe (nom collectif) ou ses composants:
– J’ai pu interpeler  une poignée d’élèves qui bloquait la porte (l’appel n’est pas nominatif) mais Une poignée d’élèves (qui) faisaient l’effort de participer (acte plutôt individuel).
–Une montagne de livres obstruait la table (effet de masse) mais Une montagne de livres disposés en quinconce (ce sont bien les livres qui sont ainsi placés).
Le choix se fait donc au cas par cas.

L’histoire du mot français enfant est assez mouvementée et montre qu’il a recouvert des réalités très différentes.
Il a longtemps été réservé au tout premier âge  de la vie (notre moderne bébé) ce qui explique qu’il ne faisait pas de différenciation sexuelle et que le mot est resté épicène. Le latin infans se rattache à une racine liée à la parole : l’enfant est proprement celui qui ne parle pas encore et on imagine mal l’Enfant-Jésus âgé de plus de quelques mois. Dans ce sens, il n’y a normalement pas lieu de marquer le féminin, surtout dans un contexte historique où la différenciation sexuelle n’avait pas d’importance pour cet âge de la vie.
Le sens a ensuite évolué pour couvrir la période jusqu’à l’adolescence et le contraire se produit. Spécifiquement pour des filles, on accordera donc au féminin (des enfants indiennes) sachant que le masculin grammatical pourra conserver son sens épicène. Des enfants indiens désigne par défaut une population mixte et indifférenciée.

Il existe une orthoépie (manière de prononcer correctement) normative comme il existe une orthographie contraignante. Mais force est de reconnaitre qu’elle est moins développée : seuls les enseignants (surtout de primaire et de F.L.E.,) et les orthophonistes y sont préparés.
Vous pouvez consulter l’intéressant article de ce site de F.L.E. qui détaille ce qui s’enseigne en matière de liaisons aux élèves étrangers.
Pour votre exemple, la liaison verbe-attribut est considérée comme « conseillée » à cause du lien sémantique fort entre les deux. Mais l’auteur rappelle que ces liaisons peuvent disparaitre dans la vivacité des conversations sans pour autant constituer une « faute » comme pour les liaisons « obligatoires ».
NB Le hiatus n’est pas en soi une raison déterminante : il existe dans la vie des cas nombreux de hiatus qui ne dérangent pas. C’est la force du lien entre les mots qui compte, d’oú l’absence de liaison lorsque la syntaxe s’en mêle (après et par exemple). L’article souligne bien ce point.

Ne est ici un mot dit explétif (autrement dit « de remplissage ») qui n’a pas de fonction grammaticale. Il a été longtemps utilisé par les écrivains pour des questions de style et est resté dans la langue courante par habitude. Cependant il peut se confondre avec un ne de négation (ne…pas, ne…jamais, etc.) et créer des confusions ou des contresens.
Sauf volonté littéraire, il n’est donc pas utile d’y recourir. Donc : « Cela arrivera sans que je puisse rien y faire. »

Il est difficile de trancher avec fermeté : l’étude de fréquence montre que le singulier domine clairement jusqu’à la fin du XIXe siècle, au XXe les deux s’équilibrent.
Cela dit, vu l’évolution sémantique, le mot finance ne s’emploie plus vraiment au singulier pour une somme d’argent et est remplacé par le pluriel (avec un ministère à sa tête). On peut donc raisonnablement préférer cette forme.

Question intéressante… historiquement.
Les deux formes coexistaient au Moyen Âge (on trouve aussi plus rarement trahiteusement) et furent employées également jusqu’à la Révolution. C’est à ce moment que les traitres à la nation prirent une importance primordiale et que traitreusement s’imposa, traitrement étant envoyé à la guillotine.
Le Ngram (graphe de fréquence dans les publications), ici présenté année par année pour cette période, en rend bien compte.
NB Traitrement a été formé sur le nom et adjectif traitre alors que traitreusement s’adosse à l’adjectif traitreux, courant en langue médiévale.

1. Les médias raffolent des majuscules mais il ne faut se laisser impressionner.
   Le mot flamme est ici pris dans son sens normal (les termes flambeau ou torche se trouvent aussi) et ne peut être pris comme un nom propre. Dans ce cas, on va affubler d’une majuscule tous les mots se rapportant à la compétition. Le C.I.O. lui-même respecte cette logique (voir ICI).
   Au pire, on peut justifier d’une majuscule par emphase ou dans le cadre d’une personnalisation poétique (Ô Flamme, ô Zippo quadriennal !).
   Quant aux adjectifs suivant un substantif (majusculé ou non), il n’est normalement pas nécessaire de les doter eux-mêmes d’une majuscule.
2. Pour les épreuves « de distance », les médias abrègent bien entendu les nombres en chiffres. Dans ce cas, autant aller au bout et écrire « courir un 800 m » (avec espace insécable au milieu). Mais la norme typographique (dans un texte littéraire par exemple) appellerait plutôt l’écriture en lettres avec trait d’union : « courir un huit-cents-mètres ».

Sur un plan strictement grammatical, les deux accords sont ici possibles, corrects et sémantiquement équivalents.
Sur les raisons de choisir le singulier ou le pluriel, je laisse les gens plus érudits que moi préciser de leur côté leurs bonnes raisons. Mais si c’est pour dire que le singulier indique le singulier et le pluriel une pluralité, il vaut mieux s’abstenir.
Quant à moi, je reste obstinément convaincu qu’en cas d’équivalence le singulier suffit. Ce principe simple évite les migraines perpétuelles dont ce site est témoin pour les accords de compléments sans déterminant. Le pluriel est un marquage qui doit avoir une raison claire de sens ou d’usage (mais dans ce cas les gens ne posent même pas de question)….

Il y a apparemment confusion entre deux tournures assez proches mais de construction et de sens différents :
1. (Se) rendre compte (au singulier) pour expliquer, donner une image fidèle (au sens figuré, rendre compte de la situation) ou s’apercevoir (elle se rend compte de son erreur).
2. Rendre des comptes pour « se justifier » ou « expliquer en détail une action ». C’est par exemple le cas des responsables d’un organisme ou d’une société avec un rapport annuel moral et financier (les comptes de l’entreprise).
À l’évidence, dans votre exemple, il s’agit de la seconde option : une fois majeur, on n’a plus à expliquer et à justifier ce que l’on fait, notamment devant ses parents.

On peut en effet hésiter : pris isolément, le mot Apollo est anglais (Apollon en français) et passible à ce titre de l’italique*. Mais comme il s’agit d’un nom propre (celui du dieu grec et du programme), qu’il est conforme à l’alphabet latin, que la prononciation est identique au français  et qu’il est très diffusé, la graphie en romain est recevable.
Pour les missions, le cas est plus tranché : la mission Apollo 11 se lira « Apollo onze » mais Apollo 11 se lira « Apollo eleven ». C’est toute la subtilité de la typographie d’indiquer aussi la prononciation de référence et ce quelle que soit la langue d’origine. Ce principe est hélas bien bafoué, nombre de mots d’emprunt n’étant plus francisés à leur apparition…

* C’est d’ailleurs le choix de Wikipédia.