Question bien connue des géographes et des typographes…
Dans pôle Nord, le mot « nord » est le nom propre du point précis en question, c’est un toponyme pour le passage de l’axe de rotation de la Terre. Il n’est qu’à peu près équivalent au pôle magnétique arctique ou septentrional (simples adjectifs) de la planète qui, lui,  est légèrement mobile au fil du temps.
Dans Atlantique nord, « nord » est un adjectif à valeur indicative (le nom propre est déjà porté par Atlantique). On parle aussi de l’Atlantique austral (sud) ou central.

Depuis 1990, l’Académie française préconise d’harmoniser l’accord des noms composés selon le même principe :
« Règle B1. Les noms composés, avec trait d’union, formés à l’origine soit d’une forme verbale et d’un nom, soit d’une préposition et d’un nom, perçus comme des mots simples, prennent la marque du pluriel au second élément, seulement et toujours lorsqu’ils sont au pluriel (ex. : un essuie-main, des essuie-mains, un cure-ongle, des cure-ongles, un garde-meuble, des garde-meubles – qu’il s’agisse de personnes ou de choses -, un après-midi, des après-midis). »
Même si les formes anciennes restent acceptables, il n’est pas déraisonnable de suivre cette règle qui a le mérite de la simplicité et de la cohérence et est enseignée dans les écoles.
NB Anciennement, le mot garde avait pour caractéristique d’être soit un nom (un gardien) soit une forme verbale (de garder). Cette nuance n’a plus lieu d’être, il est désormais toujours considéré comme un verbe. Donc : des garde-chiourmes.

Il y a eu – hélas – une évolution sémantique du mot mitiger (et de ses dérivés).
Vous trouverez dans cet excellent billet une analyse détaillée de cette dérive sans doute imputable à une mauvaise perception de l’étymologie :  la racine latine mitis (doux, moelleux) a fini par être confondue avec celle de mélange (mixare d’où mixte, mixture, etc.).
À l’origine, un robinet mitigeur n’est pas particulièrement destiné à mélanger mais à adoucir la température d’une eau trop chaude ou trop froide. Mais à la longue, le résultat a fini par se confondre avec la cause…
Si l’on veut rester rigoureux, il faut donc utiliser d’autres mots plus précis pour décrire la situation concernée, et il n’en manque pas : des avis partagés, une météo contrastée, un sentiment nuancé, une réaction pondérée, etc.

Sans doute plus adroit : « Le pays est enlisé dans l’une des crises les plus complexes et les plus anciennes sévissant actuellement dans le monde. »

À moins d’avoir défini un usage personnel et répétitif pour un ouvrage particulier, il n’y a pas d’emploi typographique reconnu pour la « barre de fraction » (/) en début de phrase dans un texte classique. Elle sert essentiellement à marquer… une fraction (¼ ou 1/4), en linguistique et pour quelques sujets techniques..
On peut toujours la choisir comme puce pour des listes mais ce n’est ni courant ni très esthétique…
Quel sens lui donnez-vous ?

Cette question est récurrente car dans le cas spécifique de la judaïté et du judaïsme il y a une superposition très forte du peuple (avec majuscule, les Israélites) et de la religion (sans majuscule).
C’est au rédacteur d’apprécier au cas par cas et en fonction du contexte ce qu’il convient de choisir. Mais l’expérience montre qu’on parle en général plus de l’ethnie que de la pratique confessionnelle. C’est le cas des exemples que vous donnez où l’adjectif qualifie plutôt une caractéristique géographique ou historique que strictement religieuse.
Il est donc souvent plus adroit de majusculer partout, quitte à utiliser une autre forme (de confession juive par exemple) si l’on veut vraiment faire ressortir ponctuellement une différence.

Il se gratte le nez donne-t-il  Ils se grattent les nez au pluriel ?
D’une manière générale, lorsque le pluriel n’apporte pas d’information particulière ou le respect du sens (comme avec tempes), le singulier suffit. On peut toujours se poser des tas de questions mais c’est surtout de l’énergie et du temps perdus à chaque fois…

Les sigles ne sont que des abréviations conventionnelles de groupes de mots  que l’on écrit selon les règles habituelles d’emploi des majuscules. En dehors des patronymes (noms de personnes) et toponymes (noms de lieux) qui figurent à l’intérieur, il n’y a donc souvent lieu de majusculer que le premier mot s’il qualifie la dénomination d’un organisme (raison sociale, nom propre d’un organisme). C’est le cas fréquent pour des mots comme Société, Établissements,  Fédération,  Union, et tant d’autres.
Tous les autres mots sont normalement avec minuscule initiale.
Donc : habitation à loyer modéré ou section d’éducation spécialisée. Si la confrérie de C.C.C.  est unique, alors majuscule à Confrérie. Si elle est une parmi d’autres, pas de majuscule.
NB Les sigles étrangers suivent d’autres règles, celles de leur pays d’origine avec utilisation de l’italique.

1. La pagination s’applique normalement à l’ensemble d’un ouvrage. Il ne faut donc pas la reprendre en cours de livre, quelle qu’en soit la raison.
2. Par définition, les notes de bas de page se rapportent à la page et y figurent. Leur numérotation est donc libre et il arrive même qu’il n’y en ait pas lorsque la quantité de notes est limitée. On peut par exemple utiliser l’astérisque (de simple à triple) et la reprendre indéfiniment à chaque page.
Pour les notes de fin d’ouvrage (souvent plus développées), il en va évidemment autrement et la numérotation est alors globale pour l’ouvrage afin d’éviter les confusions.

Cet adverbe a bien existé, et dans la graphie ultimement que vous donnez, mais il est tombé en désuétude remplacé par finalement.
Voir ici une mention dans un dictionnaire de 1821. Rien n’empêche son utilisation au sens de dernier recours, en dernier lieu.