Comme souvent, il s’agit là d’un complément à valeur générale qui reste au singulier par défaut.
Si le pluriel a un intérêt quelconque pour le sens, il vaut mieux le marquer nettement, en particulier via un déterminant : « Le début des techniques des (liées aux, relatives aux) enquêtes criminelles. »

Quand il est vraiment adjectif (placé après un déterminant), feu est mis pour défunt et s’accorde normalement : ma feue mère, la feue reine, etc.
Avant l’article ou sans article, c’était sous l’Ancien Régime une formule protocolaire héritée du latin qui remplaçait uniformément les titres honorifiques (Sa Majesté, Son Altesse) des dignitaires décédés, d’où l’invariabilité. C’est désormais un archaïsme qu’il est un peu inutile de décortiquer.
À noter qu’il ne s’emploie que pour des personnes disparues récemment (qu’on a  pu connaitre vivantes) et non pour des personnages morts depuis des générations…

Il y a deux sens à la  préposition jusque, assez proches pour le sens mais à ne pas confondre pour la construction :
– jusque avec la signification de même, en général suivi d’une autre préposition comme dans, chez, sur, sous, devant, etc. C’est le cas de votre exemple : « Je m’évertue à le chercher jusque dans le salon. » (même et y compris dans le salon)
– jusque avec le sens de « dans l’intervalle de » (sans dépasser le point indiqué) . On le trouve essentiellement sous la forme jusqu’à (jusqu’au). « Je l’ai cherché jusqu’au bout du bâtiment. » (entre l’endroit où l’on est et l’extrémité du bâtiment).

Même si on ne le détecte qu’à l’écrit (puisque alpiniste est épicène), les deux graphies n’ont pas le même sens :
– Un des alpinistes les plus doués : alpiniste renvoie à une catégorie non sexuée. La personne fait partie des meilleurs, tous sexes confondus.
– Une des alpinistes les plus douées : on ne parle que des alpinistes femmes, c’est donc plus restrictif.
Exemple plus flagrant :
– George Sand est un des meilleurs auteurs de sa génération (femmes et hommes confondus) ;
– George Sand est une des meilleures autrices de sa génération (uniquement parmi les femmes qui ont écrit).
Les revendications récentes sur la féminisation à outrance ont brouillé cette distinction classique. Si l’on féminise n’importe comment, on finit par enfermer les gens dans des catégories et par les diminuer.

La question n’est pas vraiment la préposition elle-même car le même choix cornélien se pose pour sans comme pour avec.  Comme on n’entend pas la différence, on dit qu’on peut accorder à l’écrit « selon l’intention » : le singulier évoque la matière (du sucre), le pluriel les morceaux (des sucres). On voit donc aussi bien avec sucre  ou avec sucres et de la même manière sans sucre ou sans sucres.
Il en va de même avec toutes les tournures de ce type.

La construction que vous évoquez (si… et que…) est destinée à éviter la répétition de si (on devrait écrire si… et si…). 
Dans le premier cas, le mode verbal après que est habituellement le subjonctif (c’est étonnant mais c’est ainsi de longue date) bien que l’indicatif soit de plus en plus admis. Dans le deuxième cas on conserve l’indicatif après le second si.  Voir l’analyse au dernier point de cet article.
Il faut néanmoins toujours assurer la concordance des temps :
« Si les arbres étaient un décor peint et que les roses fussent artificielles, on pourrait comprendre. »
« Si les arbres étaient un décor peint et que les roses étaient artificielles, on pourrait comprendre. »
« Si les arbres sont un décor peint et que les roses soient artificielles, on peut comprendre. »
« Si les arbres sont un décor peint et que les roses sont artificielles, on peut comprendre. »

Les questions sur les mots explétifs (ici l’article défini le ou la ) sont fréquentes sur ce site. Les autres sont de, que et ne.
Chacun sait qu’ils sont purement optionnels et assez inutiles mais cela crée justement un doute, nuit souvent à la clarté et à l’apprentissage. Contrairement à ce que disent certains sites, ce n’est pas plus soutenu, c’est uniquement de l’hypercorrection , la crainte de faire une erreur par rapport à un prétendu code que personne n’a jamais explicité. Même s’ils sont tolérés, on est en droit de recommander de s’en passer au titre de la logique.
NB  L’exemple le plus connu est celui de « qu’on », que l’Académie a banni au XVIIe siècle parce qu’on entendait « con ». Elle a forcé l’usage de « que l’on » pour des raisons qui n’ont rien de syntaxique. Au XXIe siècle, on traine encore ce boulet…

Il n’y  a  pas de raison particulière de mettre une majuscule, c’est un nom commun employé dans son sens courant.
Par ailleurs, à l’écrit, il est par principe toujours indiqué d’être analytique et « service des urgences » est plus clair même si on fait souvent l’ellipse à l’oral.

Même si l’on lit ou entend parfois un h aspiré, il n’y a pas de raison pour cela. En français, le nom officiel du pays est en effet « République d’Haïti » (Repiblik Ayiti en langue taïno) ce qui suppose un h muet. C’est d’ailleurs la forme largement majoritaire.
Donc: « En tant qu’Haïtien… »

Le fait d’utiliser oralement une telle expression relève de critères  qui ne sont pas vraiment du ressort de ce site.  C’est sans doute une affaire de génération mais je l’ai souvent entendue sans que cela choque et il y bien pire comme appellation. Cela étant, de nos jours, tout et n’importe quoi passe pour une agression.
À l’écrit, l’expression est courante dans la littérature et je n’en donne que deux exemples tirés du très sérieux TLF. Mais ce sont des centaines que l’on peut trouver depuis cinq siècles, parfois avec les qualificatifs sale ou méchante.

Vous êtes une  petite peste, me dit mon père. Si je vous parle raison, vous me répondez par des plaisanteries (Balzac, Mém. jeunes mariées, 1842). 
Dieu sait pourtant si j’ai autre chose à faire aujourd’hui, mais je vais tout de même perdre le temps qu’il faudra et te sauver, petite peste (Anouilh, Antigone, 1946).