On accorde avec le C.O.D. s’il est placé avant l’auxiliaire « avoir ». J’ai éclairé qui ? « T » pour « Toi », c’est-à-dire la femme.
Donc, en ce qui concerne votre exemple : « En espérant t’avoir éclairée« .

La confusion vient du fait qu’au conditionnel, la prononciation est très proche.
De ce fait, « Je vous saurais gré »  a progressivement glissé fort malencontreusement vers « Je vous serais gré », que l’inconscient collectif a fini par retenir, hélas ! (exemple flagrant de la popularisation à outrance de la langue…)

Pourtant, cela ne veut absolument rien dire, si vous y réfléchissez bien ! Vous pourriez être « reconnaissant », mais certainement pas « gré »………

L’expression « en date » appartient au langage administratif et juridique, et cette tournure est un peu compassée. Pour éviter cette lourdeur, « Vos courriers des 11 et 12 » me semble préférable. En règle générale, préférez toujours les tournures de phrase les plus courtes et les plus simples.

Quoi qu’il en soit, dans les locutions avec « en » le nom qui le suit est toujours au singulier : « en détail » (cela signifie « dans le détail », même s’il y a plusieurs détails), « des sourcils en accent circonflexe » (cela signifie ‘en forme de », même s’il y a deux sourcils), et je pense qu’il faudrait écrire « en date des 11 et 12″, ce qui est assez laid, il faut bien le reconnaître !…

Il semble que l’auteur de l’article n’ait pas su opter pour l’un ou l’autre. Soit il prenait le parti d’accorder les deux (corrompue et rendue) avec « intégralité » soit avec « système ».
En réalité, son erreur vient sans doute du fait que sa phrase est mal formulée. Il aurait dû écrire, par exemple :
« Il est apparu que le système informatique avait été intégralement corrompu et rendu en partie inutilisable. (ou « dans son intégralité ») ».

Il y a une petite nuance de sens, assez subtile, entre les deux tournures :
« Il NE nous reste plus qu‘à convaincre l’assemblée » (sans omettre l’apostrophe…), peut laisser sous-entendre que le plus dur reste à faire.
« Reste à convaincre l’assemblée », sous-entend que l’on n’est pas sûr du tout de la convaincre.

Ici, la phrase correcte serait « sur tous les supports ». Mais la suppression de l’article change tout (c’est le cas de le dire !).
En effet, lorsque TOUT précède directement un nom, l’ensemble est le plus souvent au singulier, sauf dans quelques expressions figées, dont voici une liste des plus courantes :
.

Par conséquent, on doit écrire « Sur TOUT support » ou « Sur TOUS LES supports », « En TOUT cas » ou « En TOUS LES cas », « De TOUTE façon » ou « De TOUTES LES façons », « TOUTE sorte de choses » ou « Des choses de TOUTES sortes », « De TOUT horizon » ou « De TOUS LES horizons ».

Il existe plusieurs versions de cette chanson, et dans la plupart, Brassens chante distinctement « PRISE », dans d’autres, le S est à peine audible, mais existe bien !
Reste à expliquer les raisons pour lesquelles le titre est généralement orthographié avec la faute…

Il s’agit d’une expression familière qui appartient au langage parlé, apparue il y a 400 ans.
Bien sûr, la liaison est inappropriée, la syntaxe plutôt bancale, et on lui préférera « en tête à tête ».
L’orthographe la plus courante est entre quatre-z-yeux.
Pourtant on lui trouve de nombreuses variantes : entre quat’-z-yeux, entre quat’zyeux, entre quat’z’yeux, entre quatre yeux, et même entre quatres yeux !

En tant que rédactrice/correctrice, je ne me base que sur les règles de l’orthographe traditionnelle.
Les rectifications de 1990 n’ont aucune valeur contraignante, bien qu’acceptées par l’Académie.
Elles sont considérées bien souvent, en particulier par les opposants à la popularisation à outrance de la langue, comme une sorte « d’officialisation » contestable (et toujours contestée !) des erreurs les plus courantes qui, à force d’être commises, finissent par être considérées comme « acceptables » et par entrer de force dans le langage.
Pour certains, dont je suis, il s’agit d’un outrage à la langue.
De plus, elles concernent environ 5000 mots, et l’on peut se demander s’il y a un réel intérêt à s’encombrer l’esprit et s’imposer une double peine, sous prétexte de se « simplifier » la tâche ?

« Au mieux » signifie « pour LE mieux ».
Si vous avez un doute, tentez de l’utiliser au pluriel dans une autre phrase, par exemple « un léger mieux dans l’état du malade », vous vous apercevez aisément que vous ne pouvez pas dire « de légers mieux ».