C’est le nom président qui appelle la construction avec article et non la France  ( il y a aussi le président de la Suisse ou celui des Etats-Unis, etc.), or l’usage antérieur pour d’autres pays, mais aussi pour d’autre présidences (le président de l’association, du conseil d’administration a sans doute prévalu pour maintenir cette construction. D’ailleurs la véritable dénomination est Président de la République française et le nom découle du verbe présider. Ce n’est pas un titre mais une fonction, comme le directeur de la Comédie, le capitaine du Nautilus, alors que roi ou marquis sont des titres directement associés à des domaines (le marquis de Carabas).

Personnellement, j’aurais plutôt dit : « Je voudrais savoir si l’un de vous connaissait un homme-à-tout-faire. « 

On peut très bien insérer etc. à l’intérieur d’une phrase, donc les parenthèses sont inutiles. L’emploi de comme indique déjà que l’énumération est incomplète. Il vaut mieux choisir l’un des deux : comme ou etc. : « En cas de problème durable, il faut en parler à un adulte de confiance : un parent, un professeur, le médecin, etc. pour être aidé à reprendre le contrôle de sa vie. « 

A l’écrit, on ajoutera une virgule dans la formulation  » L’idée, c’est de… « 

Françoise Nore considère qu’il s’agit de  » noms épithètes  » et classe le nom mystère parmi le noms qualifiants qui s’accordent au pluriel en tant qu’épithètes, avec l’exemple du  » mot mystère  »  qui devient même un nom composé (mots-mystères).
Les noms épithètes – Françoise Nore (francoisenore.com)

nom + nom, la règle est de mettre au pluriel les deux termes : « des hommes mystères« 
5 minutes pour réviser… le pluriel des noms composés – Orthographe et Projet Voltaire (projet-voltaire.fr)

Avec un temps composé,  un adverbe qui modifie  le verbe se place indifféremment entre l’auxiliaire et le participe ou après le participe  (sauf avec certains comme tellement, lentement …et encore, on peut toujours prendre des libertés pour donner de l’emphase). Faites donc comme bon vous plaira.

Quand vous écrivez à plusieurs personnes en même temps, considérez-les avec égalité dans leur connaissance du sujet et leur liberté à s’exprimer en retour. Si ce n’est pas le cas ou si ce n’est pas ce que vous souhaitez, préférez écrire à chacun séparément. Il est maladroit de dire seulement à l’un « Vous savez que… » ou « Que pensez-vous de…  » car les autres vont se sentir infériorisés. En revanche, vous pouvez parfaitement commencer par une partie commune et la formule d’appel du tout début est « Messieurs, » puis vous vous adressez à chacun en l’appelant par son nom pour lui donner des instructions (si vous êtes en position de le faire) « Voici, Monsieur Untel, ce que vous aurez à faire… » ou lui formuler une demande « Pourriez-vous, Monsieur Untel, me communiquer les éléments suivants…« 

La formule usuelle pour commencer la réponse à un  courrier en y faisant référence est la suivante : « Par courrier du  2 mars 2023, vous m’informez que… » , sans le déterminant « votre » avant courrier.

Si en revanche, vous voulez  répondre à un point particulier, vous pouvez alors formuler : « Dans votre courrier du 2 mars 2023, vous m’ indiquez  que… » mais en général ce genre de phrase ne sert pas d’introduction.

Si le complément est la cause de l’agacement, c’est équivalent à une forme passive « Je m’agace de faire cela. = Faire cela m’agace. » et la construction se fait alors nécessairement avec la préposition « de » : « On s’agace de quelque chose » et ce quelque chose peut prendre la forme d’une proposition infinitive.

Si le complément est une circonstance de l’agacement alors la préposition « à » est aussi correcte : « Je m’agace à attendre. » (l’attente me donne l’occasion de m’agacer de toutes sortes de choses) tandis que « Je m’agace d’attendre. » (l’attente est la cause de mon agacement).

La phrase « Elle ne parvient pas à cacher son agacement de sentir X faire cela » me semble donc la formulation correcte, car la proposition infinitive est un complément du nom agacement et la cause de cet agacement.