Je ne comprends pas les deux réponses précédentes. La notion de « COD de ‘faire ressembler' » est absente de mes grammaires.
Le Grevisse classe votre pronom comme « agent de l’infinitif » dans une « proposition infinitive COD ».
Il dit que, dans une proposition infinitive COD, si l’infinitif n’a pas lui-même de COD, son agent se met à l’accusatif, et si l’infinitif a un COD, son agent se met au datif :
— Je le fais partir, je le fais parler.
— Je lui fais prendre le départ, je lui fais raconter une histoire.
Pour le verbe « croire » sans COD, c’est pourtant manifestement le datif qui convient :
— Je lui ai fait croire à une blague.
La règle est donc loin d’être systématique, et le Grevisse note effectivement des exceptions, avec un datif (lui, leur) là où on attendrait un accusatif (le, les) :
— lui faire changer d’avis (P. Benoit) ;
— lui faire renoncer à son projet (Robbe-Grillet).

La construction ne suffit donc pas à trancher sur le pronom représentant l’agent de l’infinitif, il y a aussi une question de sens. Je vous suggère de choisir sur la base de la question qui / à qui.
* Qui as-tu fait changer d’avis ? je l’ai fait changer d’avis, ou à qui as-tu fait changer d’avis ? je lui ai fait changer d’avis (deux nuances selon le datif ou l’accusatif).
* À qui fera-t-on croire à une blague ? Il faut un pronom datif. On lui fera croire à une blague.
* À qui son corps fait-il penser à un insecte ? à eux. Datif. Son corps leur fait penser à un insecte. Qui son corps fait-il penser à un insecte ? eux. Accusatif. Son corps les fait penser à un insecte. Au choix, mais deux sens différents.
* Qui son corps fait-il ressembler à un insecte ? Il faut l’accusatif. Son corps allongé le fait ressembler à un insecte.
Globalement, c’est quand l’agent exerce un contrôle sur le verbe à l’infinitif, ou s’il s’agit d’une façon de se représenter une chose, qu’on peut préférer le datif.
Le livre « La Grande grammaire du français », par Anne Abeillé et Danièle Godard, accepte ainsi : « on leur fait rêver à un voyage, « on lui a fait obéir à son père », mais n’accepte pas (sans réelle justification) « cette nouvelle coupe de cheveux lui fait ressembler à son père ». Moi je trouve que ça passe si le gars s’est coupé les cheveux pour ressembler à son père.

Et vous, quel est votre avis ? Quelle est votre phrase en entier ? C’est avec un phrase en entier qu’on peut juger s’il y a une intention ou non dans le fait de ressembler. Comment diriez-vous à l’oral ? Voyez-vous une nuance entre « le » et lui » dans votre phrase ? Si vous voyez une nuance, si vous connaissez la règle un peu arbitraire de l’accusatif mais ressentez le besoin sémantique d’un datif, si vous balancez entre les deux, il y a peut-être une raison. Ne condamnez pas trop vite la possibilité du datif, et en tout cas pas sur la base de réponses expéditives et caricaturales.

Le verbe souhaiter ne s’utilise à peu près jamais au futur, mais souvent au conditionnel de politesse : je souhaite ou je souhaiterais que…
Il est suivi du subjonctif : je souhaiterais que nous apportions…

Formellement, on peut d’abord penser que c’est une double négation, du type « je ne crois pas qu’il ne viendra pas », mais est-ce que ça veut dire que je crois qu’il viendra ? Et « je ne dis pas qu’il n’est pas venu », est-ce que ça veut dire que je dis qu’il est venu ? Ce genre de phrase est rarement clair.

Mais dans votre phrase
— « je ne doute pas que cette découverte ne laissera personne indifférent »
il faut reconnaître qu’il n’y a pas d’ambiguïté, qu’il ne s’agit pas vraiment de deux négations imbriquées, car chacune des constructions négatives (ne pas / ne personne) s’applique à un concept de sens négatif (douter / indifférent), et elle sont en fait indépendantes l’une de l’autre. Ce sont deux figures de style identiques pour renforcer un sens positif :
— « je ne doute pas que » signifie « je suis certain que »
— « cette découverte ne laissera personne indifférent » signifie « cette découverte intéressera tout le monde »
Et l’ensemble signifie :
— « je suis certain que cette découverte intéressera tout le monde »

Votre phrase n’est pas forcément facilement compréhensible.
Peut-être existe-t-il une raison impérieuse empêchant que « ne pas douter que » soit suivi d’une complétive de forme négative.
Peut-être est-ce simplement pour la clarté qu’il faut éviter ce qui a l’apparence trompeuse de négations en cascade.
Ou peut-être que le problème est simplement que les deux propositions (la principale et la complétive) sont formées selon le même procédé rhétorique, et que c’est un peu ridicule. Je vous conseille donc de n’appliquer ce procédé que dans une des deux propositions :
— « je ne doute pas que cette découverte intéressera tout le monde »
— « je suis certain que cette découverte ne laissera personne indifférent »

[Je] [rigoler] quand [je] [dire] que [je] [espérer] que [il] [mourir]. L’enchaînement ou l’imbrication de quatre sujets et quatre verbes en onze mots brouille un peu la compréhension, mais ne me semble pas trop compliquer le choix des temps, car chaque mode et chaque temps dépend du rapport avec le sens et le temps de l’unique verbe dont il dépend syntaxiquement.

1) Choix du mode
Classiquement, sans doute pour de bonnes raisons historiques, peut-être désormais par convention, le verbe « souhaiter » appelle le subjonctif, et le verbe « espérer » appelle l’indicatif, signifiant davantage « attendre un constat ». On peut respecter cette règle :
a) — Je souhaite qu’il vienne
b) — J’espère qu’il viendra
Et au passage, pour dire à peu près la même chose, on constate qu’on utilise le présent avec le subjonctif, et le futur avec l’indicatif. La réponse finale découle de cela.

2) Le futur dans le passé à l’indicatif
À l’indicatif, quel que soit le temps du passé, il y a un seul « futur dans le passé », c’est le temps appelé couramment « conditionnel présent » mais ayant ici une autre valeur.
a) — je pense qu’il viendra
b) — j’ai pensé, je pensais, j’avais pensé, qu’il viendrait
Ce futur dans le passé est relatif au moment du verbe dont il dépend. La postériorité par rapport à l’imparfait, par rapport au passé composé, ou par rapport au plus-que-parfait, se marquent identiquement. On lève les ambiguïtés éventuelles par des adverbes.

3) Le futur dans le passé au subjonctif
Au subjonctif, il n’y a pas de notion de futur.
Par exemple, « bien que ce soit fini maintenant » ne se met pas facilement au futur, car « bien que ce soit fini demain » manque de futur et « bien que ce sera fini demain » manque de subjonctif. Le subjonctif n’est pas fait pour envisager le futur.
Quand le subjonctif est appelé par un verbe de volonté, le sens futur est rendu par le présent ; il ne faut pas hésiter à ajouter des adverbes (ou un auxiliaire de modalité) pour donner un sens temporel au subjonctif présent ; le sens ne vient pas tout seul.
a) — Je me réjouis qu’il soit présent aujourd’hui et je souhaite qu’il revienne demain…
Quand on transpose cette phrase au passé, on obtient, selon qu’on applique ou non l’ancienne concordance des temps littéraire :
b) — Je me réjouissais qu’il fût présent ce jour-là et je souhaitais qu’il revînt le lendemain…
c) — Je me réjouissais qu’il soit présent ce jour-là et je souhaitais qu’il revienne le lendemain…
On se retrouve en (c) avec un subjonctif présent ayant valeur de futur dans le passé, et, plus dur à admettre encore, en (b) avec un subjonctif imparfait ayant valeur de futur dans le passé. Ce sont pourtant les bons temps, et on s’en convainc en partant de la phrase au présent (a).

4) Trois possibilités
Donc, pour un futur dans le passé, il y a ici trois possibilités : deux modes, avec concordance facultative pour un des modes.
* Avec le verbe souhaiter et le subjonctif
a) — Je rigolais quand j’ai dit que j’avais souhaité qu’il mourût…
b) — Je rigolais quand j’ai dit que j’avais souhaité qu’il meure…
* Avec le verbe espérer.
c) — Je rigolais quand j’ai dit que j’avais espéré qu’il mourrait…
Le registre de langue (rigoler) ne permet pas de d’utiliser une concordance à l’ancienne. Donc choisissez entre (b) et (c).

— « toutes blanches », c’est un adverbe qui s’accorde dans certaines conditions.

Votre étonnement vient de l’accord de l’adverbe « tout ». C’est effectivement à ma connaissance le seul adverbe qui s’accorde, quand il est suivi d’un adjectif féminin commençant par une consonne. C’est très particulier. Cela crée même une ambiguïté : toutes les boules sont rouges ou les boules sont entièrement rouges ? C’est une question qui revient souvent, parce que rien n’est logique dans cette exception. Certains livres disent que c’est pour une question d’euphonie. Je n’y crois pas du tout, c’est idiot, on ne change pas la grammaire pour un mot qui en heurte un autre. C’est principalement parce que « tout » vient d’un adjectif latin n’ayant pas le sens d’adverbe, et que la transition n’est pas finie. Mais bon en tout cas c’est comme ça.

Depuis des années sur ce site, la contributrice qui vous a donné la première réponse explique ici qu’on a le choix, défendant par exemple « finie la cigarette », et en remet une couche aujourd’hui avec un « les soucis sont finis ». Peut-on finir la cigarette (arrêter de fumer) ou finir les soucis (arrêter d’avoir des soucis) ? non. Donc seul le participe passé invariable est correct.
De même pour « les apparences ».

Dans la réponse précédant la mienne, je ne comprends pas le sens de « toujours adverbe », car le mot « tout » est parfois adverbe, parfois adjectif, parfois déterminant, parfois pronom, parfois nom…
Dans la réponse précédant la mienne, je ne comprends pas le sens de « invariable », car l’adverbe « tout » a justement la particularité de ne pas être invariable (ils sont tout rouges, elles sont toutes rouges)…
Mais si vous trouvez que que vous avez eu une « super explication », alors tout est pour le mieux…

Pour introduire une subordonnée conjonctive complétive, la conjonction « si » se comporte comme la conjonction « que », et n’appelle ni n’interdit aucun temps particulier :
— Je sais qu’il a plu, qu’il pleut, qu’il pleuvra…
— J’ignore s’il a plu, s’il pleut, s’il pleuvra…
— J’aimerais savoir si ça a fonctionné, si ça fonctionne, si ça fonctionnera…
Aucun principe n’empêche le conditionnel, mais il faut une bonne raison à cela, il faut compléter la phrase.
— Je sais qu’il pleuvrait ; j’ignore s’il pleuvrait.
Ces phrases n’ont pas de sens.
— J’aimerais savoir si ça fonctionnerait.
Non, cette phrase n’a pas de sens telle que vous la présentez. Le conditionnel n’est possible que si vous ajoutez une hypothèse, une condition :
— Pour l’instant ça ne fonctionne pas. J’aimerais savoir si ça fonctionnerait mieux avec de l’huile.

Pourquoi dites-vous merci à une folle qui vous dit que « ces compétences » est un pronom ? Ignorez ou contestez, mais ne remerciez pas.