Avec la construction impersonnelle, on conjugue selon le sujet apparent « il » et non selon le sujet logique : « il tombe des pommes », et non « il tombent des pommes ».
Il arrive en français qu’on préfère la logique du sens à la logique de la construction (ce sont des pommes), mais pas dans le cas de la construction impersonnelle avec « il ».
Vous en avez la preuve en passant au passé composé pluriel, puisqu’on conserve le singulier « il est tombé des pommes » et non « il sont tombées des pommes ».
Donc votre première version était la bonne.

Je suis d’accord avec Myrtille sur l’étrangeté de votre construction, mais bien qu’un peu artificielle, elle est valide. En revanche, ce qui suit « il sera évoqué » ou « il est tombé » n’est pas un COD. La construction impersonnelle est une construction à part. On écrit ainsi « les pommes qu’il est tombé » ou « la théorie qu’il pourra être évoqué » même si « les pommes » et « la théorie » sont antéposés.

J’aurais comme vous du mal à utiliser un subjonctif présent dans votre phrase, car à mon oreille, « pût être » est le bon temps, tandis que « puisse être » répond à l’exigence moderne de bannir le subjonctif imparfait mais sonne comme une apparition intrusive d’un présent dans un contexte passé.

Souvent, le subjonctif présent évoque un futur proche :
— Je ne veux pas qu’il soit mis au courant.
Au passé, l’absence de concordance ne pose aucun problème, bien au contraire, car le « fût » de simultanéité transcrirait artificiellement, de nos jours, le futur proche :
— Je ne voulais pas qu’il fût mis au courant.
On préfère généralement :
— Je ne voulais pas qu’il soit mis au courant.

Mais quand le subjonctif n’est pas dû à une attente, à une volonté, une nécessité, mais exige un temps de simultanéité car le verbe au subjonctif ne dépend pas chronologiquement du verbe de la principale, il est souvent aberrant de le mettre au présent.
La phrase au présent :
— Je ne pense pas qu’il soit aussi grand que tu le dis.
s’écrit prétendument de façon moderne :
— Je ne pensais pas qu’il soit aussi grand que tu le disais.
L’absence de concordance m’est très désagréable, au point qu’à l’oral, comme beaucoup de monde, je préfère conserver le passé au détriment du subjonctif plutôt que de conserver le subjonctif au détriment du passé :
— Je ne pensais pas qu’il était aussi grand que tu le disais.
L’écrit réconcilie les nécessités du subjonctif et du passé :
— Je ne pensais pas qu’il fût aussi grand que tu le disais.

Selon moi, si vous analysez le rôle de chaque subjonctif, et si vous identifiez les verbes pour laquelle la concordance des temps au subjonctif est porteuse de sens, vous pouvez utiliser dans un même texte au passé des subjonctifs présent et imparfait.
Par chance, on constate que les cas de simultanéité obligatoire utilisent souvent le verbe être (y compris pouvoir être), et ce verbe passe encore très bien au subjonctif imparfait.
— Il fallait que vous me le demandiez (plutôt que demandassiez).
— Il fallait que que vous fussiez mon ennemi pour ne pas me le demander (plutôt que soyez).
Mais le verbe être au présent comme futur proche (et non comme constat de simultanéité) conservera avantageusement son présent dans un texte moderne.
— Il fallait que vous soyez à l’heure le lendemain.

Si vous décidiez d’appliquer ce principe, alors, je vous approuverais d’écrire :
— J’ignorais qu’il pût être une de ces personnes qui… (ou qu’il fût)
— Je souhaitais qu’il puisse être à l’heure le lendemain… (ou qu’il soit)
Pour niveler votre texte et éradiquer le subjonctif imparfait, trop souvent qualifié d’élitiste ou d’humoristique, ne passez pas au subjonctif présent, mais par exemple à l’indicatif imparfait, si nécessaire en changeant le verbe introducteur :
— Je n’avais pas pensé qu’il pouvait être une de ces personnes qui… (ou qu’il était)

***
Complément pour d’autres cas, avec d’autres causes au subjonctif, et d’autres verbes que le verbe être, par exemple l’obligation du subjonctif après « bien que ».
— Bien que je sois cuisinier, je mange peu.
— Bien que je fusse à cette époque cuisinier, je mangeais peu.
L’absence de concordance est très choquante puisqu’elle perd la notion de simultanéité :
— Bien que je sois à cette époque cuisinier, je mangeais peu.
On voit que la préconisation moderne de passer tous les subjonctifs imparfaits à des subjonctifs présents est ridicule et inapplicable.
En quittant le verbe « être », cela devient beaucoup plus délicat encore, car il faut choisir entre une tournure ridicule et une tournure sans concordance :
— Bien que je cuisinasse beaucoup à cette époque, je mangeais peu.
— Bien que je cuisine beaucoup à cette époque, je mangeais peu.
Je suis pour ma part souvent amené à trouver une formule au passé n’utilisant pas le subjonctif :
— Si je cuisinais beaucoup à cette époque, je mangeais peu.
***

Surtout, ne vous lancez pas dans une entreprise consistant à aplatir inconsidérément tous vous subjonctifs imparfaits pour en faire des subjonctifs présents. Si vous avez laissé traîner des subjonctifs imparfaits, vous aviez certainement de bonnes raisons.
Vous pouvez par exemple :
* maintenir les subjonctifs imparfaits avec le verbe être pour les cas de simultanéité obligatoire ;
* changer la construction de la phrase avec d’autres verbes que être pour les cas de simultanéité obligatoire ;
* utiliser le subjonctif présent, même avec le verbe être, quand la concordance n’exprime pas un caractère durable et simultané du verbe au subjonctif par rapport au verbe de la principale.

On ne dit pas en français « cette laser est produite par… » pour dire « cette amplification de lumière est produite par… », car un/e laser n’est pas une amplification de lumière. Si c’était le cas, les premiers utilisateurs du mot auraient choisi le féminin.
L’origine en français de « laser » n’est pas « amplification de… ». L’origine du mot français « laser » est « laser », mot anglais signifiant « a device that emits light through a process of optical amplification based on the stimulated emission of electromagnetic radiation ». On note que même en anglais, un laser n’est pas une amplification mais un rayon, un appareil, une technologie. Et c’est ce sens qui est utilisé en français.
Le mot « laser » n’est pas un acronyme français, auquel cas il serait féminin, mais c’est simplement un mot anglais. Ce n’est pas un acronyme français lexicalisé, comme « sida », mais un mot étranger passé en français.
Est-il masculin parce qu’on l’utilise pour dire un rayon laser (donc mis en apposition avec omission du mot principal) ? Parce que les mots empruntés à l’anglais sont généralement masculins (un week-end) ? Par le choix de la première personne l’ayant introduit en français ? Ces trois causes convergent.

Ce n’est pas, au départ, une question de pronom, et en changeant de personne, on peut analyser la phrase sans pronom.
Les verbes d’état n’ont pas de COD mais un attribut.
Dotés de cet attribut, ils peuvent avoir un COI.
— La semaine paraît longue au travailleur.
Sémantiquement, le complément « au travailleur » ne complète pas l’adjectif (la semaine n’est pas longue-au-travailleur), mais complète le couple verbe+attribut (la semaine pèse au travailleur).

— Cela plait à Pierre. Cela est agréable à Pierre.
Si l’on s’en tient au sens, on a la même fonction dans la construction transitive indirecte et dans la construction avec un verbe et un attribut, c’est-à-dire : objet indirect.
Je ne conçois que le sens « à Pierre, cela est agréable », et ne comprends pas le sens « cela est agréable-à-Pierre ». Pas plus que longue-au-travailleur, précieuse-à-Pierre n’a de sens sans le verbe d’état. On ne peut pas dire « j’ai organisé une semaine agréable-à-Pierre ». Il n’y a pas ici de complément de l’adjectif.

Le complément pronominalisé, sa fonction dans la phrase se maintient.
— Cela lui plait. Cela lui est agréable.
— Ces amies nous sont précieuses. Elles ne sont pas [précieuses à nous] ; elles [sont précieuses] à nous.
Je réponds donc comme Ingrid : complément d’objet indirect.

Ce qu’en dit le Grevisse.

C’est au paragraphe « éléments subordonnés à l’adjectif » qu’il classe d’abord ces compléments et les pronoms équivalents.
— Ce sacrifice est agréable aux dieux. Ce sacrifice leur est agréable.
Mais il qualifie immédiatement « leur » de « pronom personnel conjoint objet indirect », et se réfère donc manifestement au couple verbe+attribut.

Plus loin, dans le chapitre consacré aux pronoms, il précise [que dans ce contexte avec la préposition « à »] : « Le pronom complément de l’adjectif attribut se comporte comme un objet indirect du verbe ».
— La vérité trop vraie m’était antipathique à moi aussi (avec un pronom conjoint, et un pronom disjoint pour montrer les deux formes).

Le mot « comme » suggère qu’il ne faut plus considérer que le complément est subordonné à l’adjectif, car sous forme de pronom il a forcément dans la phrase la fonction d’objet indirect.

Oui, vous avez raison. Dès lors que « là » est complété par une relative (là où règne la nuit), « là » est forcément mis pour désigner un lieu, et ne fait donc pas partie de la locution « jusque-là ».

Les quatre premiers verbes soulignés, conjugués avec l’auxiliaire avoir et précédés d’un COD féminin si vous êtes une femme (le pronom me) ont un participe passé qui s’accorde avec ce COD : m’avoir accompagnée ; vous m’avez encouragée, incitée, et appuyée.
Le cinquième verbe souligné est pronominal par nature, logiquement conjugué avec l’auxiliaire être, et son participe passé s’accorde simplement avec son sujet : des opportunités se sont présentées.
Vos cinq accords sont bons.

J’ajoute ces points :
* « démarches d’application de bourses » est fautif. Vous utilisez sans doute l’anglais « application » pour « candidature ».
— encouragée dans mes candidatures à des bourses
— aidée dans mes démarches pour l’obtention de bourses
— conseillée pour postuler à des bourses
— …
* Le mot « opportunité » calqué sur l’anglais « opportunity » est critiquable pour parler de possibilité, d’offre, ou d’occasion. Il est devenu courant en français dans ce sens, et est donc acceptable, mais peu rigoureux.
* L’association « participer à différentes formations et événements pertinents » est mal construite. Si « différentes » peut servir de déterminant à « formations », il en faut également un à « événements ». Et il n’est pas clair de savoir si l’adjectif « pertinents » s’applique aux deux termes ou simplement au dernier.
— bien dissocier : suivre différentes formations et participer à des événements pertinents
— associer avec deux déterminants : participer à différentes formations et à des événements pertinents
— partager le déterminant « des » en supprimant « différentes » : participer à des formations et événements pertinents
* La liste de verbes étant longue, ajoutez une virgule avant « et appuyée », pour mieux structurer

Ne réfléchissez pas selon vos phrases isolées, mais selon le type d’articulation entre les propositions.
Voici mon découpage, sur la base de vos exemples.

1. Deuxième prémisse avant la conclusion.
« Il dit cela. Or, il se trompe toujours. Donc, c’est faux. »
« Or » apporte une deuxième information, mais pas encore la conclusion, qui ne viendra qu’en fin de phrase.
« or » = « et de plus » ; « et nous savons par ailleurs que » ; « et comme »…
Virgule, pour montrer l’articulation du raisonnement : pourtant, je crois que… de plus, nous savons que…

— Nous savions n’être couverts qu’en cas d’accident, et comme ce n’était pas un accident, nous n’avons pas été remboursés.
— Nous savions n’être couverts qu’en cas d’accident. Or, il ne s’agissait pas d’un accident. Nous n’avons donc pas été remboursés.

— L’accident était au départ mineur, et nous savons désormais que leur pronostic vital est engagé, c’est bien qu’il y a eu un problème dans la chaîne des secours.
— L’accident était au départ mineur. Or, leur pronostic vital est engagé. Il y a donc eu un problème dans la chaîne des secours.

— On manque de travailleurs pour payer nos retraites, et dans une société déjà multiculturelle l’immigration n’est pas un problème, ce qui nous permet d’ouvrir nos frontières.
— On manque de travailleurs pour payer nos retraites. Or, l’immigration n’est pas un problème. Ouvrons donc nos frontières.

2. Démenti-conclusion.
« Il dit cela. Or c’est faux. En effet… »
« Or » contredit ce qui précède par une information nouvelle, conclusive (il n’est pas rare que la phrase se poursuive sur une explication, mais pas une conclusion).
« or » = « mais nous apprenons finalement que » ; « mais en réalité » ; « mais la vérité est que »…
Pas de virgule, pour montrer la conclusion : et voilà ; mais c’est ainsi ; car c’est faux…

— Je pensais qu’il avait glissé, mais en réalité il ne s’agissait pas d’un accident.
— Je pensais qu’il avait glissé. Or il ne s’agissait pas d’un accident.

— L’accident était annoncé mineur, mais nous apprenons maintenant que leur pronostic vital est engagé.
— L’accident était annoncé mineur. Or leur pronostic vital est engagé. Voilà la vérité.

— On prétend que les immigrés posent un problème d’emploi, mais en réalité l’immigration n’est pas un problème, puisqu’elle apporte autant de consommateurs que de producteurs.
— On prétend que les immigrés posent un problème d’emploi. Or l’immigration n’est pas un problème. L’immigration n’est absolument pas un problème. En effet elle apporte autant de consommateurs que de producteurs.
Dans ce dernier exemple, un raisonnement logique alignerait deux prémisses et une conclusion-déduction : Le problème d’emploi vient des déséquilibres économiques. Or, les immigrés sont autant consommateurs que producteurs. Donc l’immigration n’est pas un problème. On voit que « l’immigration n’est pas un problème » est bien la conclusion, qui en logique pure ne suit pas le mot « or », mais qui dans la construction démenti-conclusion-asséné-avant-tout-argument suit immédiatement le mot « or » sans virgule.

Suppression ou ajout de virgule.
Dans la construction « or-virgule plus deuxième prémisse avant la conclusion », on peut souvent supprimer la virgule sans altérer le sens, mais inversement, dans la construction « or-sans-virgule plus démenti-conclusion », on ne doit normalement pas en ajouter une.
1. Il dit cela. Or(,) il se trompe toujours. Donc(,) c’est faux.
2. Il dit cela. Or c’est faux.

* « moi-même » insiste sur le sujet, et le renforce.
* « par moi-même« , comme « en moi-même », « de moi-même », sont des compléments adverbiaux qui s’appliquent au verbe.

— Je me disais moi-même que c’était vrai.
= Moi-même, moi qui vous parle, je me disais que c’était vrai.
— Je me disais en moi-même que c’était vrai.
= Je me disais dans le secret de mon cœur que c’était vrai.

— Je suis allé moi-même à cette réunion.
= C’est moi qui suis allé, je suis allé en personne à cette réunion.
— Je suis allé de moi-même à cette réunion.
= Je suis allé de ma propre initiative à cette réunion.

— J’ai étudié moi-même.
= C’est moi qui ai étudié.
— J’ai étudié par moi-même.
= J’ai étudié sans aide, tout seul, sans professeur.

Pour des verbes qui ne mettent personne d’autre en jeu, comme « décider », c’est proche, car « j’ai décidé tout seul » et « c’est moi qui ai décidé », ça revient finalement un peu au même.
La nuance est :
* par moi-même = sans être conseillé
* moi-même = que j’aie ou non été conseillé, peu importe, mais j’assume ma décision

Votre question ne porte pas sur les noms collectifs : un groupe de spectateurs est ou sont arrivé(s), une montagne de lettres est ou sont arrivée(s). Vous savez qu’on dit « la montagne de lettres, il la voit », et non « la montagne de lettres, il les voit ». Il n’y a pas ici ce type de choix à faire, permettant d’insister sur la montagne ou sur les lettres.

L’imbrication.

Votre question porte d’abord sur la place de l’adjectif dans une imbrication : [un pot de fleurs] rouge, ou un pot de [fleurs rouges] ?
Globalement, c’est une question de sens, sens souvent imposé :
— des [queues de poisson] panées (on découpe le poisson puis on pane les queues)
— des boîtes de [poisson pané] (on pane le poisson puis on le met en boîte)

Dans votre exemple :
— Il voit une montagne de lettres empilées (que j’ai empilées ce matin) = j’ai empilé des lettres et non une montagne.
— Il voit une montagne de lettres érigée (que j’ai érigée ce matin) = j’ai érigé une montagne et non des lettres.
— Il voit une montagne de lettres reçue(s) (que j’ai reçue(s) ce matin) = j’ai reçu une montagne de lettres, ou des lettres, c’est au choix de l’auteur, selon l’imbrication voulue : une [montagne de lettres] reçue, une montagne de [lettres reçues].
Les participes passés ci-dessus (empilé, érigé, reçu) sont comme des adjectifs qualificatifs (supprimables), ou intégrés à des relatives explicatives (supprimables ou séparables par une virgule).

La détermination.

Si cette phrase pose un problème, c’est parce que la question du sens ne suffit pas à trancher, il faut aussi compter avec la syntaxe. Il faut examiner la question des articles définis et des participes passés explicatifs ou déterminatifs, car dans votre texte, il n’y a pas l’équivalent d’une relative explicative, comme ci-dessus, mais l’équivalent d’une relative déterminative, ce qui change les possibilités d’accord.
On peut dire « Il voit des lettres ». On ne dit normalement pas dans une histoire, quand on n’en n’a pas encore parlé, « Il voit les lettres ». Les lettres ? quelles lettres ? On n’utilise l’article défini pour une chose que si cette chose est déterminée, c’est pourquoi on dit par exemple « il voit les lettres que le facteur a apportées ce matin ». Un participe passé remplace la relative avec le même sens et la même fonction syntaxique : « il voit les lettres apportées ce matin par le facteur ».
— Une lettre, que j’ai reçue ce matin, traîne sur la table. On peut mettre la relative entre virgules, c’est une explicative.
— La lettre que j’ai reçue ce matin traîne sur la table. On ne peut pas mettre la relative entre virgules, c’est une déterminative.
On voit que quand on met un article défini, c’est une déterminative qui suit, et que cette déterminative s’applique obligatoirement au mot qui a l’article défini.
Ici, vous voulez une précision déterminative, il faut identifier le mot sur lequel elle porte.
Comme vous n’avez pas mis d’article défini à « lettres », la précision déterminative ne peut pas s’appliquer à « lettres », et s’applique forcément à « montagne ».
Si vous souhaitez que la déterminative s’applique aux lettres, il vous suffit de mettre un article défini à « lettres ».

Les quatre possibilités.

* pas d’article défini du tout = accord selon le sens, selon l’intention de l’auteur :
– Il vit une montagne de lettres que le facteur avait apportée (apportée par le facteur).
– Il vit une montagne de lettres que le facteur avait apportées (apportées par le facteur).
* article défini + pas d’article défini :
– Il vit la montagne de lettres que le facteur avait apportée (apportée par le facteur).
* article défini + article défini :
– Il vit la montagne des lettres que le facteur avait apportées (apportées par le facteur).

Il pense organiser un concours.
Préparation (1) ou hypothèse théorique (2) ?
(1) Cas pratique : il pense organiser un concours = il va probablement organiser un concours.
— Il veut avoir un gagnant, qu’il mettra alors en avant sur son site. Futur obligatoire.
(2) Cas théorique : il pense organiser un concours = il aimerait idéalement organiser un concours.
— Il voudrait avoir un gagnant, qu’il mettrait alors en avant sur son site. Conditionnel présent obligatoire.

Toute la question est dans « il pense organiser ».

Je privilégierais dans votre phrase le cas concret et le futur, car pour l’hypothèse et le conditionnel, j’aurais écrit « il pense à organiser un concours.