Je ne comprends pas la distinction entre mot et message… Un mot compose un message (si je vous écris un « mot », c’est bien pour vous envoyer un message ) ? Est-ce plutôt une marque ou un témoignage d’amitié ?

* Je remercie mes fidèles pour leurs messages et leurs mots : juste
* Je vous remercie pour vos messages et vos mots : juste

Personnellement, avec chacun de vous, je mettrais « son » ou « ses » messages, le possesseur est « chacun » qui est un singulier.

Pour plus d’exemples, ici.

Merci.
Mais pourquoi mettriez-vous « son » ou « ses » avec chacun d’entre vous ?
Car c’est bien un message par personne ..
* Je vous remercie chacun d’entre vous pour votre message
* Je remercie chacun d’entre vous pour son message
* Je remercie chacun d’entre vous pour ses messages
Loin de moi l’idée de douter de votre analyse, mais je pense que « son » irait mieux quand on tutoie la personne :
* Je le remercie pour son message
Quant à la troisième, ça laisse l’impression que ces plusieurs messages par personne ..
Qu’en pensez-vous ?

Dans chacun d’entre vous, « d’entre vous  » joue un rôle de complément et il me semble que la phrase doit pouvoir s’écrire sans ce complément (ou en remplaçant par un autre complément).
Vous ne diriez pas : « Je remercie chacun pour votre message », pas plus que vous ne diriez : « Je remercie chacun d’entre eux pour votre message ».

En revanche, si vous mettez « son » ou « ses » (qui, comme le dit Joëlle, se rapporte à un possesseur singulier), la phrase est correcte dans les trois cas :
Je remercie chacun d’entre vous pour son message.
Je remercie chacun d’entre eux pour son message.
Je remercie chacun pour son message.

En effet, c’est très bien expliqué. Je vous remercie tous deux pour vos réponses.