puis, quand il eut fini de parler, il… ou bien puis, de son rire joyeux, il… ?
Nous avons là des portions de phrases. Pour l’explication, il est plus facile de traiter avec des phrases compètes.
Il donna ses explications puis, quand il eut fini de parler,  il s’assit.
Il haussa les épaules puis, de son rire joyeux, il l’interrompit.

Les virgules encadrent les compléments quand il eut fini de parler, et de son rire joyeux parce qu’ils ont été déplacés avant le verbe qu’ils complètent.
Les phrases « normales » sont :
Il donna ses explications puis il s’assit quand il eut fini de parler.  .
Il haussa les épaules puis il l’interrompit de son rire joyeux .

Le mot puis est classé dans les adverbes mais il joue souvent le rôle de conjonction de coordination (comme mais, ou, et, etc.). Il marque alors l’enchainement de deux processus (ou procès) et n’a donc pas à être précédé ou suivi d’une virgule qui va au contraire « casser » cet enchainement : Il s’habilla puis descendit au jardin.
Comme dans n’importe quelle phrase, si vous insérez une incise, elle comporte ses deux virgules (ou parenthèses) propres mais cela est sans rapport avec puis : Il s’habilla puis, le coeur léger, descendit au jardin.