Je ne comprends pas pourquoi les réponses de Jean Bordes et Feuillu ont obtenu des votes négatifs.
Et pourquoi celle de Prince (si on peut appeler ça une réponse… parfaitement inutile) n’en a pas obtenu………………
La réponse est peut-être dans ma question ?

En effet Maryline,

Cette tournure n’est pas pronominale, et s’accorde de la même façon que s’il n’y avait pas le COI « M », avec le sujet du verbe apparaître :
Dès que la réalité (m’) est apparue
Dès que les faits (me) sont apparus
Dès que le cauchemar (m’) est apparu

Oui, mais pas d’accent sur la.

dès que là réalité m’est apparue, accord avec le sujet.

Inutile de réviser vos verbes pronominaux.
Il n’y a pas de verbe pronominal (ni de construction pronominale) dans votre phrase.
Le sujet et le pronom ne représentent pas la même personne, donc ce n’est pas pronominal.
L’auxiliaire être ne correspond pas ici à la transformation de l’auxiliaire avoir dans une construction pronominale.
Contentez-vous de conjuguer normalement : la réalité est apparue.
Ajouter ou non un complément (« me » pour « à moi ») n’a aucun effet sur la conjugaison : la réalité lui est apparue, la réalité m’est apparue…

Vous pensiez à un verbe se construisant avec l’auxiliaire avoir (j’ai obéi), auquel on ajoute un pronom COI (je lui ai obéi, je leur ai obéi…), et qui passe à la forme pronominale quand le COI représente la même personne que le sujet : je me suis obéi (j’ai obéi à moi-même) ; je me suis offert un livre (j’ai offert un livre à moi-même)… Mais ce n’est pas le cas ici.

Notez aussi qu’il est (ou il était) possible de conjuguer « apparaître » avec l’auxiliaire avoir, ce qui a pu participer à la confusion :
— la réalité a apparu, la réalité lui a apparu, la réalité m’a apparu…