Bonsoir Abering, ici que est une conjonction de subordination introduisant une proposition subordonnée complétive (COD) : il me semble quoi ? que ses yeux étaient devenus plus sombres. Notez qu’ici le verbe sembler n’est pas employé comme un verbe d’état (comme il l’aurait été par exemple dans la phrase ses yeux me semblent sombres).

Et pour tenter de répondre simplement à votre seconde question, on reconnaît le que pronom relatif par le fait qu’il remplace un nom dont il prend la fonction (généralement complément d’objet direct d’un verbe transitif — le film que j’ai vu — ou attribut d’un verbe d’état — le grand écrivain que fut Victor Hugo) ; la conjonction que, quant à elle, ne remplace pas un nom mais « articule » deux propositions, une principale et une subordonnée complétive (COD, complément circonstanciel…), sans avoir de fonction dans l’une ou l’autre de ces propositions.

Bonjour Abering, le verbe sembler est utilisé comme verbe d’état dans des constructions du type : sujet + verbe d’état + adjectif ou nom attribut (l’attribut se rapportant au sujet) : que vous êtes joli, que vous me semblez beau ! Cette voiture me semble une excellente affaire. Dans la phrase il me semble que ses yeux sont plus sombres, la construction est impersonnelle (il me semble), le pronom sujet il ne désigne pas quelqu’un ou quelque chose, il ne peut donc pas y avoir d’attribut s’y rapportant, pour cette raison sembler n’y est pas un verbe d’état.

Merci  ChristianF de toutes ces explications.
Par contre, je ne comprends pas la nuance concernant le verbe sembler… Pourquoi, ici, il n’a pas la fonction de verbe d’état ?

Il m’a semblé que ses yeux étaient devenus plus sombres avec le temps.

Le verbe « sembler » signifie  avoir l’air, ressembler, paraître, passer pour .. il est dit verbe d’état .
Ses yeux semblent deux lacs sombres.
Cet homme semble troublé.
Il est en tous cas attributif, c’est à dire qu’il introduit un attribut (souligné dans les exemples ci-dessus).

Dans la tournure impersonnelle « il semble » , le verbe « sembler » prend un autre sens.
Vous pouvez, sans changer le sens de la phrase, remplacer « sembler » par « croire » :
J’ai cru que ses yeux étaient devenus plus sombres avec le temps.

C’est un verbe qui  peut introduire une proposition subordonnée COD dite complétive comme dans « votre » phrase, ou une infinitive  (: il me semble voir quelqu’un là-bas).