Bonjour, aucune raison de mettre une majuscule ici.

Merci beaucoup

Après vérification (j’ai répondu un peu trop vite), il y a bien une majuscule : L’Inde française regroupe différentes possessions coloniales françaises en Inde entre 1668 et 1954. À partir de 1816, elles portent le nom d’Établissements français dans l’Inde (EFI) et incluent Pondichéry, Karikal et Yanaon sur la côte de Coromandel, Mahé sur la côte de Malabar et Chandernagor au Bengale.
Erreur rectifiée.

La majuscule est attestée dans la plupart des dictionnaires.

Le Petit Robert n’en mettait pas, ce qui m’a trompé.

Bonsoir,

Il s’agissait des possessions coloniales française dans l’Inde (les cinq comptoirs : Pondichéry, Chandernagor, etc. 

Dans les textes  – compris officiels : Journal officiel, Bulletin officiel… — de l’époque, on trouve la majuscule ou la minuscule.
L’Académie française en parle mais ne se mouille pas.

Toutefois, le TLFi emploie l’initiale minuscule :

« Fait de s’installer à demeure dans un lieu (dans un but de travail, de colonisation). L’établissement des Phocéens dans les Gaules devint une des causes secondaires de l’esclavage de ces derniers (CHATEAUBR., Essai Révol., t. 1, 1797, p. 256).
 P. méton., souvent au plur. Les établissements des Français dans l’Inde. (Quasi-)synon. colonie, comptoir, possession. Bonaparte joignait peut-être à la folle idée de la guerre de Russie (…) quelques tentatives sur les établissements des Anglais dans l’Inde (STAËL, Consid. Révol. fr., t. 2, 1817, p. 136). Depuis le XVIe siècle jusqu’au milieu du XVIIe (…) elle [l’Espagne] mettait le pied sur l’Afrique et y faisait des établissements (TAINE, Philos. art, t. 1, 1865, p. 5) ».

Cependant, ces Etablissements désignant  exactement l’Inde française*, je choisirais finalement d’employer la graphie utilisant la majuscule initiale. 

 * Encyclopédie Larousse

Oui, c’est bien que je pensais.
Merci beaucoup, Prince.