Bien que la « règle » soit mal formalisée, il semble que le trait d’union apparaisse dès que le mot expert n’est plus une simple appréciation mais un titre officiellement reconnu par une instance. Voir par exemple les cas répandus des experts-comptables ou des géomètres-experts  qui ont des ordres professionnels.
S’il s’agit d’une qualification circonstancielle (auprès des tribunaux notamment, comme expert de justice), le trait d’union de semble pas requis. C’est le cas des psychiatres qui n’ont pas d’existence comme experts en dehors de cela. Voir ici un article détaillé de France Info sur cette qualification.
Il convient donc d’être prudent selon le métier et de vérifier les pratiques selon la profession.  

N. B. Ce mot est à rapprocher de cas douteux similaires : voir le débat sur ce site pour le mot « maitre » ou pour les habitudes liées au mot « chef » (trait d’union uniquement si le mot suit le grade, voir cet article du Projet Voltaire).

Pour l’autre partie de votre question  : Mettez-vous-y est la seule forme correcte. À noter que le pronom réfléchi se place au plus près du verbe (mettez-y-vous est donc à bannir).