Dans ce cas, tout n’a pas une fonction adverbiale (il est placé devant un substantif). Il est adjectif indéfini et s’accorde avec histoire. C’est bien le sens de c’est une histoire complète .

Non il s’agit de l’emploi de tout comme adjectif et non comme adverbe :
Adj, « toute la vie » (la totalité de la vie)
Adv, « tout content »Adj. indéf. A l’appui, le CNTRL :
A. − [Marque l’idée d’intégralité]
1. [Précède un déterm. du subst. (art. déf., art. indéf., adj. poss., adj. dém.) ou bien précède un pron. (dém., pers., poss.) ou encore un nom propre]
a) [Pour marquer l’intégralité d’un espace (au propre ou au fig.), d’un volume, d’une durée, d’un processus, d’une collection, d’une masse ou la plénitude d’une réalité]
− [D’un espace, d’un volume] Tout l’univers; tout le pays; tout le long de; toute une partie de; sur toute la ligne*. Visite à la Princesse, qui est tombée hier dans l’escalier et qui a tout le bras droit ankylosé (Goncourt, Journal, 1894, p. 675).
− [D’une durée] Toute la journée; tout cet été; tout un hiver; avoir tout son temps*. De tout le repas il ne prononça pas une parole (Châteaubriant, Lourdines, 1911, p. 248).
− [D’un processus] Nous nous rendons avec lui chez M. Martin, à qui nous racontons toute l’histoire (Gide, Voy. Congo, 1927, p. 809).
− [D’un ensemble, d’une collectivité] Toute la récolte; toute la classe; tout le quartier (« les habitants du quartier »); toute la population; toute la somme; tout le monde*. Tout l’hôtel, en un moment, fut sur pied. On courut chercher du secours (Bourges, Crépusc. dieux, 1884, p. 339).