Bonjour,

Que ou dont ?

Ce sont des pronoms relatifs.
Que introduit un C.O.D.
Dont introduit un complément de nom.

La fille que tu vois près de l’arrêt de bus est ma belle-sœur.
La maison dont tu vois la cheminée surmontée d’une mitre est celle de mes grands-parents.

C’est l’outil … j’ai besoin pour démonter cet appareil. ──► J’ai besoin DE QUOI ? de cet outil.
On écrit donc :

C’est l’outil DONT j’ai besoin pour démonter cet appareil.

C’est l’outil … j’ai acheté pour démonter cet appareil. ──► J’ai acheté QUOI ? cet outil.
On écrit donc :

C’est l’outil  QUE  j’ai acheté pour démonter cet appareil.

Afin d’éviter une lourdeur dans votre phrase, vous écrirez :

« Nous avons récemment fait l’acquisition d’une maison que je restructure avec soin depuis quelques semaines déjà.»

Exercice : compléter par QUE ou DONT les phrases suivantes :

Les enfants … il s’occupe l’aiment beaucoup.
La situation … il occupe dans la compagnie est très importante.
Le mandat … j’avais tant besoin est enfin arrivé.
Elle n’était pas coupable de la faute… on l’accusait
Le crime … on l’accuse d’avoir commis est épouvantable.
Il a enfin pu s’offrir la voiture… il avait envie. 

Votre  phrase est correcte.

Tout au plus pourrait-on écrire, pour qu’elle soit plus légère :
« Nous avons fait récemment l’acquisition d’une maison que je prends soin de restructurer depuis déjà quelques semaines. »
Mais ce n’est pas obligatoire.

En revanche, le verbe « rénover » semble plus adéquat :
« Nous avons fait récemment l’acquisition d’une maison que je prends soin de rénover depuis déjà quelques semaines. »

Personnellement j’aime les phrases courtes.

J’écrirai :

Nous avons récemment fait l’acquisition d’une maison.
Je prends soin de la restructurer depuis quelques semaines déjà.

J’aime aussi les suppressions même si les phrases sont correctes.

Je rénove une maison acquise/achetée  récemment.

Dans votre phrase : je mets en gras et je souligne les redondances et les lourdeurs.
« Nous avons récemment fait l’acquisition d’une maison que je prends soin de restructurer depuis quelques semaines déjà. »