Bonsoir.

Il me semble que tenir le rythme s’emploie soit tel quel (« Dans cette course, il est difficile de tenir le rythme ») soit avec de : « Il a du mal à tenir le rythme des cours ».
Quand vous parlez d’anglicisme, songez-vous à quelque chose de précis ? Il me semble que l’expression se comprend d’elle-même. Tout musicien, par exemple, s’efforçant de jouer jusqu’au bout un morceau complexe et dont le tempo est enlevé peut rencontrer des difficultés à « tenir le rythme ». De même, nombreux sont ceux qui auront du mal à « tenir le rythme » dans une course avec Usain Bolt.
Pour revenir à votre phrase, vous pouvez mettre : « Leurs revenus doivent tenir le rythme de leur train de vie ».  Ou « leurs revenus doivent suivre leur train de vie »,  « rester au niveau de leur train de vie ».

Bonsoir sabcdefg.

Je ne vois pas d’anglicisme dans cette tournure mais un choix inadapté du verbe.

On pourrait dire « suivre le rythme » : leurs revenus doivent suivre le rythme de leur train de vie.

Ou plus justement : leur train de vie doit être adapté à leurs revenus.

La vie professionnelle est une course de haies, un parcours… Je ne sais pas si la comparaison avec une course est géniale, mais elle ne semble pas procéder d’une langue plutôt que d’une autre. Je ne parle pas correctement anglais, mais si anglicisme il y a, il est sans doute davantage à chercher dans le ‘avec’ que dans le ‘tenir le rythme’. Si vous nous interrogez sur ‘to keep rhythm with’, vous nous en demandez beaucoup. Effectivement en français il n’y a pas d’expression ‘tenir le rythme avec’. Donc on pourrait avoir tendance à corriger par ‘tenir le rythme de’, mais cela supposerait un complément du nom, et que la fin de la phrase ait réellement un rythme.
J’approuve donc votre réticence, et la traduction mot à mot n’est pas possible.
Propositions :
* en conservant le ‘avec’ qui délimite bien les deux termes de la comparaison :
– être en adéquation avec
– être en résonnance avec (s’il est nécessaire de conserver l’image accoustique ou fréquentielle)
* en mettant la comparaison à l’intérieur de l’image :
– tenir le même rythme que
* en acceptant le complément du nom (mais le second terme commande alors au premier, on dépasse la simultanéité)
– suivre le rythme de, suivre l’évolution de…
* en supprimant l’idée de rythme pour ne conserver que le proportionnalité
– augmenter dans les mêmes proportions que
– s’adapter à

Tenir le rythme avec : non
au moins : Leur revenu doit suivre le rythme de leur train de vie. Mais ça ne me plait pas.
Alors  :
doit suivre leur train de vie
doit correspondre à leur train de vie
doit « coller » à leur train de vie
doit assurer leur train de vie
…

Leur revenu doit correspondre à leur train de vie. C’est simple… mais n’est-ce pas l’inverse qui est vrai ?
Le train de vie est généralement fonction du revenu. Ou alors, on s’endette ? Bref, ce n’est pas la question.
Mais tenir le rythme, sûrement pas. L’explication de Jbanbaggi sur cette expression me paraît claire et précise.

Merci à tous pour vos suggestions et corrections.

Je croyais qu’il s’agissait d’un anglicisme à cause de l’expression « keep pace with », et parce que ma phrase sonnait faux quand je la lisais à voix haute !
Mais la preposition « avec » était, en effet, le problème.

Il ne m’est pas nécessaire de garder l’image accoustique, donc je pense que « Leurs revenus doivent suivre leur train de vie », « Leurs revenus doivent tenir le rythme de leur train de vie » et « Leurs revenus doivent suivre le rythme de leur train de vie » sont les meilleures tournures. Elles communiquent le bon concept en français correct.