Il me semble que si « ou » a un sens inclusif (ou n’exclut personne, autrement dit les deux peuvent lire une histoire) ; le pluriel est de rigueur. C’est comme si l’on avait écrit et . De plus, lorsqu’il y a deux sujets dont l’un est moi, c’est le nous  qui résume les 2.
Son père ou moi lui lisons une histoire. 

Voici un petit lien 

Ce « ou » peut paraître exclusif : soit c’est le père qui lit, soit c’est « moi », mais pas les deux en même temps.

Cependant, la phrase semble décrire une habitude, certains jours le père lira, et d’autres jours « je » lirai ; si oui, alors les deux lisent, le « ou » n’est plus exclusif et le pluriel s’applique donc !

Bonjour,

Voici une réponse qui ne tient qu’à moi :

– Son père ou moi lui lit une histoire une fois que sa sœur est couchée.
– Son père, ou moi, lui lit une histoire une fois que sa sœur est couchée.
– Son père et moi lui lisons une histoire une fois que sa sœur est couchée.
– Son père et toi lui lisez une histoire une fois que sa sœur est couchée.

Bonne journée

Merci à tous pour vos réponses !

Ma réponse ne passe pas, je la mets en image.