Les deux constructions semblent être utilisées indifféremment de nos jours (où était plus fréquent auparavant). Voir le graphe de  fréquence (singulier+pluriel) pour le XXe siècle. Je n’ai pas trouvé trace de différence de sens.

Il y a deux situations où l’on a le devoir de répondre de cette façon.
Ici on emploiera plutôt  « où ». Avec la préposition « dans »,  « lequel » indique une  véritable localisation. On emploiera plus volontiers lequel dans un énoncé plus actualisé :
Je me suis mis dans deux situations dans lesquelles j’avais le devoir de répondre…

Bonjour,

pour détendre l’atmosphère, je vous propose cette version, sans doute moins usitée :

« Il y a deux situations au sein desquelles on a le devoir de répondre de cette façon »

a)
De façon générale, ne tenez jamais aucun compte des dizaines ou centaines de réponses sur ce site présentant des statistiques totalement idiotes publiées par plusieurs contributeurs :
* Puisque 90% des chasseurs disent qu’ils chassent le lapin et que seulement 10% des chasseurs disent qu’ils chassent le lièvre, il est préférable de dire que vous chassez le lapin.
* Année par année, on dit avec exactement la même fréquence « il fait beau » et « il ne fait pas beau », donc il n’y a probablement pas de différence fondamentale entre ces deux expressions.
Ce genre de raisonnement, développé en permanence sur ce site, fait carrément peur. Ne tenez donc aucun compte de la première réponse.
Si les deux constructions que vous proposez on un sens et sont valides, qu’elles aient le même sens ou non, que peut bien vous importer que l’une soit plus fréquemment utilisée que l’autre ? Vous avez évidemment la possibilité d’utiliser la tournure la moins fréquente des deux, et jamais le fait d’écrire une chose qui a été moins écrite qu’une autre avant vous ne devrait être une frein à votre expression.

b)
La réponse à votre question n’a évidemment non plus aucun rapport avec un emplacement ou une situation géographique ou une « véritable localisation », ne tenez donc aucun compte non plus de la deuxième réponse.
Et la phrase « On emploiera plus volontiers lequel dans un énoncé plus actualisé » n’ayant aucun sens, vous ne devez pas davantage en tenir compte.

c)
Il peut arriver que le pronom relatif « où » ne se réfère pas à un « dans » (par exemple « le jour où »), et ne soit pas remplaçable par un « dans lequel », mais c’est une autre question.
Car dans l’autre sens, vous devez considérer que quand vous pouvez écrire « dans », alors vous pouvez toujours faire une relative en « dans lequel ».
Et c’est la cas ici : dans cette situation –> la situation dans laquelle

d)
Il est probable que vous savez déjà tout cela, et que vous nous demandez s’il y a une différence de style, une différence d’intention. Dans votre phrase, que faut-il préférer entre le très analytique « dans lequel » et le plus simple « où » ?
Cela relève-t-il par exemple de différents registres de langage ?
— la situation où je me suis fourrée en sortant de prison…
— la situation dans laquelle je me suis trouvée à ma sortie de l’ENA…
Y a-t-il une autre raison pour préférer à l’autre l’un de ces deux pronoms relatifs, qui dépende réellement du sens de la phrase ? Je ne sais pas. Il s’agit évidemment d’une question de style, mais quelles sont les motivations du choix de l’auteur ? Attendez d’autres réponses, qu’on devrait trouver dans la littérature.