La question revient souvent, à propos de « sans limite » notamment, et les avis divergent parfois.
Personnellement, pour ce qui est de « sans borne » j’opterais résolument pour le singulier, dans le sens de « sans la moindre limite ».

L’expression « amiration sans borne » est fréquente. https://www.cnrtl.fr/definition/borne (voir D 2 Remarque 3)

Sans bornes (au pluriel) est toutefois possible: 
La rêverie devint solennelle et profonde, vague comme le lac brumeux, immense comme le ciel sans bornes. G. Sand, Lélia,1833, p. 37. https://www.cnrtl.fr/definition/borne

Merci beaucoup!

Bonjour,

« On écrit, généralement, avec un –s : Son avidité sans bornes. Son avarice ne connait pas de bornes, n’a pa de bornes. »
Jean Girodet,  Dictionnaire Bordas des pièges et difficultés de la langue française, Bordas.

Mon avis est que l’on écrit en ce cas  » sans borne  » car l’expression semble être prise au sens de  » sans qu’il n’y ait une limite  »
Le singulier me semble plus indiqué.

Mais ceci n’engage que moi bien sûr.