Je n’ai pas dit que « éloignés le plus possible » était attribut, j’ai dit que c’était « éloignés » qui était attribut.

Alors, c’est « le plus possible », adverbe de manière, qui est, en quelque sorte, complément, et « éloignés » est attribut, comme dans « il est essentiel que les grimpeurs restent éloignés les uns des autres (le plus possible) » ou dans « il est essentiel que les grimpeurs restent éloignés de la brèche (le plus possible) ».
Dans les deux cas, un complément est souhaitable (doivent-ils rester éloignés les uns des autres ou de la brèche ?)
Cependant, il est permis de douter, quoiqu’il y ait une différence entre « les grimpeurs restent loin » (adverbe) et « les grimpeurs restent éloignés » (attribut).

En fait, nous sommes dans le cas d’un superlatif absolu (qui exprime un degré extrême) :
C’est en fin de match que les joueurs sont le plus vunérables (et non « les plus » ou « le plus vulnérable »).
C’est le matin que la neige est le plus blanche (et non « la plus » ou « le plus blanc »).
Et donc :
« La police devra se montrer le plus vigilante possible » (et non « la plus » ou « le plus vigilant possible »).
Ce qui correspond bien à notre exemple :
« Il est essentiel que les grimpeurs restent le plus éloignés possible ».

Le participe passé éloignés est attribut du groupe nominal les grimpeurs et doit s’accorder avec lui, il faut donc écrire éloignés :
Il est essentiel que les grimpeurs restent le plus éloignés possible.

Vous avez raison de douter.
L’analyse grammaticale doit souvent précéder l’application d’une règle. Votre exemple illustre bien ce principe.

En effet, « le plus éloigné possible » n’est pas attribut de grimpeurs, mais un complément circonstanciel (lieu ou manière). Il serait d’ailleurs mieux d’écrire « le plus loin possible », ce qui clarifierait la question. Enfin, le singulier (le plus éloigné possible) met la puce à l’oreille : cela le différencie d’une tournure comme « les grimpeurs les plus éloignés ».

Donc, in fine, la meilleure tournure est : « Il est essentiel que les grimpeurs restent le plus loin possible. » ou à défaut (familier) : « Il est essentiel que les grimpeurs restent le plus éloigné possible ».
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