Non, il n’y a normalement pas de doute : « Comment la famille de Louis l’encourage-t-elle à faire du sport ? » est bien la forme correcte. Le sujet est inversé par rapport à la phrase affirmative et il n’y a pas de confusion.
En revanche, on ne peut que constater depuis quelques années la fâcheuse tendance des médias (parlés ou écrits) à faire l’économie du pronom de rappel. On voit même certaines personnes cautionner cette suppression au prétexte qu’un simple point d’interrogation ou l’intonation de la voix suffirait à marquer l’interrogation : « Comment la famille de Louis l’encourage à faire du sport ? » Cette pratique se généralise et l’on se deshabitue progressivement du pronom de rappel que l’on hésite à employer. Chacun  jugera à l’aune de son gout mais je ne suis pas sûr que la clarté y gagne…

Bonjour Camille,

Pour moi, vous exposez très clairement la problématique et facilitez à merveille l’aide que vous demandez – et à la question « Cela est-il correct », il me semble pertinent de répondre par l’affirmative.

Cette réponse m’est venue en faisant quelques jeux de substitution sur les pronoms compléments car les sons en « L » créent à mon sens une difficulté dans l’analyse de vos phrase – d’où peut-être vos impressions ?

J’obtiens alors des choses comme : Comment la clé m’aide t-elle à ouvrir ? Comment la solution nous est-elle apparue ? Comment les internautes vous ont-ils comprise ?

Comment cela vous est-il utile?

Bonjour Daniel, Bonjour Chambaron,

Entendu, j’ai bien pris connaissance de vos analyses. Merci énormément pour votre précieuse aide et pour m’avoir ôté mes doutes !

Très bonne soirée