Voici comment j’analyserais la phrase qui me semble correcte :

On dit qu’à la toucher nos malheurs se dissipent a le sens de : on dit que si on la touche nos malheurs se dissipent.
Proposition principale : on dit
Proposition complétive que nos malheurs se dissipent
Proposition subordonnée de condition (de la complétive)  : à la toucher

En effet,  l’infinitif est un mode impersonnel permettant donc de ne pas exprimer l’agent, ce qui est ici appréciable parce qu’on évite l’alternance on/nos ou l’emploi d’un nous, peu apte à la généralisation.

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Pour ce qui concerne l’antécédent, on n’a pas assez de contexte, mais vraisemblablement le nom « chouette » a été exprimé en amont. La reprise nominale se fait avec lui de façon assez naturelle,  par syllepse.
>>> comme dans la phrase « Une estafette arriva en trombe. On l’interrogea mais il ne voulut parler d’abord qu’au général » exemple de wikipédia qui précise  : on retrouve cet accord selon le sexe de la personne dont on parle .

Bonsoir,

Si ce « corps martyr » est celui de la chouette en question, la phrase ci-dessous ne laisse pas de doute quant à l’antécédent du pronom.

Combien de fois ai-je caressé ce corps martyr dans l’espoir d’un miracle ? On dit qu’à le toucher nos malheurs se dissipent, nos rêves prennent vie, nos vœux s’accomplissent.

Je pense que cela ne se dit pas, pour des raisons de constructions de phrase, « à la toucher » se rapporte à la personne qui touche et les actions ont d’autres sujets.

On dit qu’en la touchant, on voit nos malheurs se dissiper, nos rêves prendre vie, nos vœux s’accomplir.
On dit que la toucher fait que nos malheurs se dissipent, nos rêves prennent vie, nos vœux s’accomplissent.