Il s’est trouvé une nouvelle mission
Il y a homonymie entre « ai » et « est ». Pour la lever mettons la phrase au passé :
Diriez-vous :
il s’avait trouvé ou il s’était trouvé ?
C’est bien l’auxiliaire être qu’on doit utiliser, et non l’auxiliaire avoir.

Bonjour,
Le sujet étant il, le verbe doit être conjugué à la troisième personne du singulier.
Le verbe avoir n’a donc pas sa place car la troisième personne de avoir est a. On ne dirait pas il s’a trouvé une nouvelle mission.
Il s’agit donc bien de l’auxiliaire être utilisé dans la forme pronominale.

Le verbe « trouver » se conjugue avec l’auxiliaire avoir :
— nous avons trouvé une mission, nous lui avons trouvé une mission, nous leur avons trouvé une mission…
Mais quand le complément (en particulier un COD, un COI, un complément d’attribution) représente la même personne que le sujet, le verbe se met « à la forme pronominale », avec l’auxiliaire être :
— nous nous sommes trouvé une mission
Donc :
— il m’a trouvé une nouvelle mission, il vous a trouvé une nouvelle mission, il s’est trouvé une nouvelle mission