Ici le « que + avoir » a le sens d’un « pourquoi » .
Qu’as-tu à me regarder? = pourquoi me regardes-tu ?
Si on décortique, si on va « chercher » le sens  : quelle est cette chose (=que) qui t’amène à me regarder ?
Au type déclaratif : il y a quelque chose qui t’amène à me regarder.

Qu’ai-je à savoir ce à quoi ils étaient occupés ?
Pourquoi  (devrais-je) savoir ce à quoi ils étaient occupés ?
Quelle est cette chose qui  m’inciterait à savoir ce à quoi ils étaient occupés  ?
Fausse question : on attend : rien

Qu’avais-je à savoir qui, au juste, m’avait attiré dans le pays ?
Pourquoi devrai-je savoir qui, au juste, m’avait attiré… ?
Quelle est cette chose qui ferait que je devrai savoir…. ?
Fausse question : on attend : rien

Cependant ici :
Qu’ai-je à savoir de plus que ce que m’ont appris ses tristes regards, et surtout son duel ?
Le « que « est un pronom du même type que ceux de vos premières phrases .
La phrase déclarative correspondante est :
J’ai à savoir quelque chose de plus que ce que m’ont appris…
Que est le pronom interrogatif qui remplace « quelque chose »

Bonjour,

Est-ce le que qui pose problème ou la construction avoir à + infinitif ?

Si par exemple on met devoir dans la première phrase, est-ce toujours problématique ?

Que dois-je savoir de plus que ce que m’ont appris… ?

Merci infiniment pour vos réponses.

Ma question portait en effet sur « que + avoir ».

Merci phil-en-trope.

Merci Tara. Tout est plus clair maintenant !