Voici un article du Projet Voltaire sur le sujet :  
Quand « ou » coordonne deux noms au singulier, le verbe se met au singulier ou au pluriel selon les cas :

– il se met au singulier si l’un des deux noms exclut l’autre.

Le président de la République ou le Premier ministre présidera la réunion.
– il se met au pluriel si l’on peut dire « l’un et l’autre » ou « l’un comme l’autre ».

La fatigue ou l’imprudence sont à l’origine de bien des accidents.
Si « ou » unit deux synonymes, le verbe se met bien sûr au singulier.

Élisabeth Ire ou la Reine vierge a régné quarante-quatre ans.
N.B. Le même raisonnement vaut pour l’accord du verbe après « ni » : il se met au singulier si l’un des deux noms coordonnés par « ni » exclut l’autre. Dans les autres cas, il se met généralement au pluriel.

Ni Philippe ni Jérôme n’a été élu président de la République.
Ni la mer ni la montagne ne m’attirent.

Aussi,  vous accorderez au pluriel si vous considérez l’un et l’autre, et au singulier si vous considérez l’un ou bien l’autre.
Dans votre phrase, « ou » équivaut à « ni », donc ma suggestion sera :
Aucune activité ou financement supplémentaire ne serait nécessaire….

Bonjour,
Votre phrase équivaut à : qu’aucune activité ni aucun financement supplémentaire ne serait nécessaire pour sa mise en œuvre.
L’accord peut se faire au singulier ou au pluriel selon le sens que vous souhaitez.
Il me semble que vous voulez dire qu’il n’y aura pas d’activité supplémentaire et pas de financement supplémentaire.
Aussi je mettrais supplémentaire au pluriel et j’accorderais le verbe également au pluriel : qu’aucune activité ou financement supplémentaires ne seraient nécessaires pour sa mise en œuvre.