Bonjour,

Quadra- ; quadri ; quadru- sont des préfixes tirés du latin quattuor, quatre, et indiquant le nombre des parties, ou la quatrième partie d’une chose. Ils entrent dans la composition de mots dont la prononciation est variable :  [ka] ou  [koua]

[koua]

Quadragénaire ;  quadratique ;   quadrature ;  quadriceps ; quadrige ; quadrilatère ; quadrumane ; quadrupède.

mais [ka]

Quadrillage ; quadrille , quadrillé , quadriller.

Note :

L’évolution phonétique ne laisse plus apercevoir le chiffre quatre qui se cache sous carrefour, mais que l’on peut tout de même identifier dans le latin quadrifurcum « fourche à quatre dents» ;  ce nom a aussi été désigné métaphoriquement pour désigner un embranchement de quatre routes.
C’est encore le chiffre quatre qui explique la  forme de cahier( latin quaternio et l’italien quaderno) : ensemble de feuilles résultant d’une grande feuille coupée en quatre.

Ref : Nous parlons tous  latin sans le savoir ─ H. Walter.

Seul le mot quadrupède est lexicalisé.

Le dictionnaire larousse ne connaît pas.
Seul quadrupède est répertorié.

Quadripède est seulement enregistré par le Wiktionnaire, semble-t-il (= variante de quadrupède).
En dépit de cette attestation dictionnairique,  on peut considérer que quadripède est un barbarisme morphologique (il existe des barbarismes sémantiques).