Bonjour.
« l’auto qu’il s’est achetée est rouge« 
« Il » est le pronom sujet (« il » est toujours sujet)
Il a acheté quoi ? : l’auto représentée par le pronom « qu' » qui est le COD.
Le verbe acheter est à la forme pronominale et s’accorde selon les règles du participe passé formé avec l’auxiliaire « avoir », donc avec le COD si celui-ci est placé avant le verbe. Donc il y a accord avec « qu’ » mis pour l’auto.
Donc : « achetée« .

« Ludovic s’est acheté une voiture« 
Le sujet est « Ludovic » et le COD est « une voiture« , placé après le verbe à la forme pronominale, donc pas d’accord
Donc « acheté« 

Cordialement

Bonjour,

Le complément d’objet direct (C.O.D.) est un complément du verbe. Il désigne l’être ou la chose sur lesquels s’exerce l’action exprimée par le verbe et qu’effectue le sujet.

Le chien de chasse (sujet) poursuit(verbe) le renard(C.O.D.)

Quelle place le C.O.D. occupe-t-il dans la phrase ?

En règle générale le C.O.D. se place après le verbe :

Le chien de chasse poursuit le renard.

Mais le C.O.D. est placé avant le verbe :

─ Dans les phrases interrogatives avec inversion du sujet :
Quelle place occupez-vous ?

─ Dans les phrases exclamatives :
Quelle jolie robe vous avez !

Lorsque le C.O.D. est un pronom personnel :
Plus j’écoute cette musique, plus je l‘aime.

Lorsque le <C.O.D. est un pronom relatif:
La robe que vous portez est très jolie.

Votre phrase fait partie de ce type de construction .

L’auto qu‘il s’est achetée est rouge .