Une proposition subordonnée relative dépend toujours d’un nom commun qu’elle qualifie (introduite par un pronom relatif : -qui –que –quoi –dont -où  -lequel et ses composés ( laquelle, desquels …)

 La proposition subordonnée relative a toujours la même fonction : elle est toujours complément de l’antécédent du pronom relatif (c.à.d. le mot remplacé par le pronom relatif) qui l’introduit.

 Ex : [J’ai vu un bracelet] [qui m’a plu.]
Le dessert que Fiona a préparé est très bon.

Il me semble que dans votre phrase : La crainte qu’elle parte m’envahit.  à rapprocher de la structure « 
qu’elle parte se rapporte bien au nom commun « crainte » et le précise, le pronom relatif est bien « que »
La principale est bien : la crainte m’envahit.

La subordonnée conjonctive est, elle, rattachée à un verbe.  
J’aurais dit comme vous, mais on est peut-être 2 à se tromper. Quelqu’un aura peut-être la correction …

En effet, il doit y avoir un problème avec la notion de complément du nom crainte.

Bonjour,

Une relative introduite  se caractérise par le fait que le pronom a un antécédent : par exemple. « La fille, que j’ai vue, est belle. »

Dans votre exemple,  » la crainte qu’elle parte m’envahit », qu’ n’a aucun antécédent, c’est une conjonction qui coordonne, pour le compléter, le mot crainte et le verbe partir

« Qu’elle parte » est donc une subordonnée complétive ( ou conjonctive)

Un nom ne peut avoir de complément d’objet. Une complétive est un COD.
Ici on a bien une P.conjonctive, mais apposée au nom.
Une conjonctive n’est pas toujours subordonnée, elle peut être
sujet : Qu’elle parte ainsi m’inquiète
attribut : : ma crainte est qu’elle parte
ici elle est apposée au nom : la crainte qu’elle parte m’envahit.

—-> pour ne plus vous tromper :
Pouvez-vous remplacer « que » par un nom à côté du verbe conjugué qui suit ? 
la crainte qu‘elle ressent l’empêche d’agir. —> elle ressent la/de la/cette crainte : que est pronom relatif
la crainte qu’elle parte m’envahit —> elle parte la/cette/de la crainte  : impossible