C’est le verbe avoir : 
Le premier à avoir eu l’idée du téléphone …./ qui a eu la médaille … / qui a remporté ….

Le premier à avoir eu le ….
Pourquoi le mot souligné ne peut pas être le verbe « avoir » ?
Jamais le verbe « avoir » ne  peut être suivi d’un autre verbe à l’infinitif.
S’il est suivi d’un verbe, c’est que lui-même est un auxiliaire, c’est à dire qu’il n’a pas de sens plein mais sert à construire un temps composé.
Il est alors toujours suivi d’un participe passé. Il a oublié ses clés – il a franchi la frontière – il a eu peur … : ce sont les passés composés des verbes oublier, franchir, avoir.

Pourquoi « à » est ici une préposition ?
Le verbe qui suit une préposition est toujours à l’infinitif : avoir eu est un infinitif (passé).
On peut alterner avec d’autres prépositions (le sens change évidemment mais pas la construction)
Il est le premier à avoir eu l’idée de sortir – il est fier d’avoir eu l’idée de sortir – il est félicité pour avoir eu l’idée de sortir...

Quel est le temps du verbe de votre début de phrase ?
Il est le premier à avoir eu l’idée de sortir
Il est le premier à avoir pris la parole – il est le premier à avoir franchi la frontière – il est le premier à avoir ouvert les yeux…
Nous avons là les verbes prendre, franchir, ouvrir, et pour votre phrase avoir à l’infinitif passé. L’action indiquée par ce temps est antérieure au verbe conjugué (ici être à chaque fois). Si l’action était simultanée nous aurions :
il est le premier à prendre la parole, à franchir la frontière, à ouvrir les yeux et il est le premier à avoir l’idée de sortir.