Bonsoir,

Voyons ce qu’en disent de nombreux ouvrages de référence.

Le lexique que vous citez écrit effectivement la première guerre mondiale (et la seconde guerre mondiale, mais la Grande Guerre) ainsi que Le TLFi .

Mais l’Académie française écrit : La Première Guerre mondiale, comme le Grand Robert, le « Lacroux »,  le Grand Larousse illustré 2015 et le « Larousse » en ligne. 
Ce dernier ouvrage nous explique :
« Guerre dans les noms propres de conflits. Dans les expressions qui désignent une guerre déterminée, guerre s’écrit avec une minuscule, sauf dans la Première Guerre mondiale (ou la Grande Guerre) et la Seconde Guerre mondiale. On écrit en revanche avec une minuscule à guerre : la guerre de Cent Ans, la guerre des Deux-Roses, la guerre de Dévolution, la guerre de Sécession, etc. »

Les dictionnaires des difficultés de Hanse, de Péchouin/Dauphin  et de Girodet ont également enregistré la Première Guerre mondiale.

La grammaire Le Bon usage a retenu l’orthographe avec les deux majuscules. 

Celui de Colin admet les deux graphies (avec ou sans majuscules). (Le « Thomas », curieusement, s’abstient.)

Je m’abstiendrai de commenter le graphique de Ngram Viewer car certains des ouvrages correspondants comportent des discordances (par ex. entre le titre et le corps du livre).

Ma conclusion : La très grande majorité des ouvrages de référence (dont le dict. de l’Ac. et le B.U.)   préconisent La Première Guerre mondiale (alors qu’on écrit : la  guerre de Crimée, la guerre de Corée, la guerre des Six jours, la guerre des Boers, etc.). Je pense que l’on a voulu employer deux majusc. pour chaque conflit mondial compte tenu de leur importance. A mon sens, ça se défend bien.
Pour ma part, je privilégierais donc  la graphie comportant un p et un g majuscules, sans pour autant condamner l’autre écriture. 

Bonne soirée.

Le système typographique de capitalisation des noms correspond en bonne partie à la notion de nom propre. Quel que soit le sujet, on ne devrait attacher une capitale qu’au substantif (et aux mots le précédant) désignant univoquement un lieu, un évènement, une personne.
Dans le cas d’espèce, on a concurremment La Grande Guerre, dont chacun sait de laquelle il s’agit, et la  (P)première (G)guerre mondiale car cette appellation se trouve à la limite du nom propre et de la pure appellation générique.
Voir ICI ce qu’en dit en détail J.-P. Lacroux et les différentes positions de plusieurs typographes.
Personnellement, je ne capitaliserais pas dans ce cas car on peut aussi bien trouver premier conflit mondial ou d’autres tournures. On n’est pas dans le domaine du nom propre.

Merci pour vos réponses, grands maîtres. Vous apportez l’un et l’autre assez d’informations pour fixer un choix cohérent. Je n’ai pas encore tranché sur le sujet mais il est bon de savoir que les deux graphies sont acceptables et non fautives.