Bonjour Wapiti.

Dans cette phrase, « premier » est un adjectif attribut du sujet avec lequel il s’accorde : nous avons fini premiers du tournoi.

Premiers est un adjectif et il s’accorde avec le mot qu’il qualifie : nous avons fini premiers du tournoi = nous sommes premiers.
(premiers = nous)

Merci bien !

joëlle et PhL ont omis de vous signaler un cas plus rare où le « nous » est un nous de majesté (ou de modestie).
Si vous étiez seul à jouer, vous diriez « nous avons fini premier du tournoi ».

Les rois écrivent souvent ainsi, surtout quand ils gagnent un tournoi de belote (ou de coinche).

Pour compléter la réponse de PhL, premier étant un adjectif, il ne se conjugue pas (on ne conjugue que des verbes), il s’orthographie, tout simplement !

Ou il s’accorde