Eh bien si, il est impératif de mettre le point d’interrogation. Le discours indirect libre « mélange » les indices du discours direct et ceux du discours indirect.
Dans le cas de votre phrase : la première partie est clairement du discours indirect : verbe introducteur, emploi du pronom « il » et temps passé.
Ce qui fait de la deuxième partie du discours indirect libre, c’est précisément la ponctuation : le point d’interrogation qui appartient au discours direct, et l’inversion du sujet qui va avec.
Si vous ne mettez pas ce point d’interrogation, vous faites l’erreur que vous signale précisément ChristianF.

Vous avez le choix entre les différentes façons de rapporter les paroles mais à condition de vous conformer aux exigences de chacune.

Bonjour Porchy8, non, ce n’est pas correct. L’inversion du sujet et du verbe comme dans pourrait-il n’est pas possible dans le cas du discours indirect, or la deuxième partie de la phrase (après et) est bien dans ce mode même si il se demanda n’est pas répété. Il faut donc écrire “Il se demanda s’il était toujours en vie et, dans ce cas, sur quoi il pourrait se rabattre pour trouver à manger.”

Merci!

Pourtant, on glisse fréquemment dans les récits du discours indirect au discours indirect libre.

Discours indirect : Il se demanda s’il était toujours en vie et, dans ce cas, sur quoi il pourrait se rabattre pour trouver à manger.
Discours direct :
Il se demanda s’il était toujours en vie. » Dans ce cas sur quoi puis-je me rabattre pour trouver à manger ? et, dans ce cas, sur quoi puis-je me rabattre pour trouver à manger?”

Discours indirect libre :
Il se demanda s’il était toujours en vie et, dans ce cas, sur quoi pourrait-il se rabattre pour trouver à manger?
Seul ce qui est souligné est du discours indirect libre. La première proposition est du discours indirect.
Vous avez parfaitement le droit de faire cela Porchy8.
Je vous renvoie à : Le discours rapporté

Visiblement vous n’avez pas compris les explications qui vous ont été données puisque vous écrivez finalement :

NON pas du tout !
Vous ne pouvez pas formuler une question sans la ponctuer d’un point d’interrogation.
Comme votre phrase n’est pas une question, vous ne pouvez pas inverser verbe et sujet (comme dans le forme interrogative).
Tournure appropriée :
Il se demanda s’il était toujours en vie et, dans ce cas, sur quoi il pourrait se rabattre pour trouver à manger.

Merci!