Pour m‘occuper les mains et l‘esprit, je tortille  un bout de papier entre les doigts a largement ma préférence. Avec un seul m’, j’évite jusqu’à trois possessifs. 

Rem. : tortiller avec les doigts et  tortiller entre les doigts ne sont pas des pléonasmes.

Toutes les phrases comportant « mes doigts » laissent à désirer. En effet, il est hautement probable que la personne ne tortille pas un bout de papier avec les doigts de quelqu’un d’autre !  🙂

Je retiens ces deux-là :
Pour m‘occuper les mains et l‘esprit, je tortille entre mes doigts un bout de papier.
Pour m’occuper mains et esprit, je tortille entre mes doigts un bout de papier.

Pour occuper mes mains et mon esprit, je tortille entre mes doigts un bout de papier.
Celle-ci est très correcte. 3 possessifs, cela peut être un peu lourd, mais on peut vouloir cette répétition, pour donner un sentiment d’abattement par exemple.
(Il faut toujours être prudent  avant de condamner une structure ou une expression : on peut toujours vouloir un effet particulier, c’est cela le style précisément).

Pour occuper mains et esprit, je tortille entre mes doigts un bout de papier  : celle-ci  n’est pas correcte ; on ne sait pas de quelles mains et de quel esprit il s’agit.