À la différence  de nombreux autres signes de ponctuation, le point-virgule s’emploie plutôt « par défaut » pour pallier certains soucis de construction de la phrase. Hors les exemples donnés dans le site que vous mentionnez, citons aussi :
— séparer des parties dont l’une au moins est déjà subdivisée par une virgule ;
— articuler sans la fractionner une phrase beaucoup trop longue.
C’est un élément stylistique à la disposition de l’auteur  (ou du correcteur) qui se laisse mal codifier de manière rigide…

Le point virgule, à tort, est peu utilisé, il est presque en voie de disparition ; pourtant, il est d’une grande utilité.
Il s’interpose entre des propositions bien distinctes, mais maintenues liées au sein d’une même phrase. Il aide aussi le lecteur à repérer les grandes articulations d’une phrase longue où abondent les virgules.
« Je me rappelle que j’ai joué autour de ces tas de sable ; il y a longtemps ; j’étais si petit que je me distingue à peine. » (H. Calet).
Le passé revient ici par bribes. Un point aurait trop violemment coupé la phrase. La virgule l’aurait trop fluidifiée, on aurait moins senti cette mélancolie qui s’installe. Les coupures instaurées permettent au souvenir d’effleurer, lentement.
Le point-virgule n’a ici aucune nécéssité logique, c’est l’auteur qui impose son style.

Un point-virgule marquera plus volontiers l’opposition que la virgule.
« J’eus des amis qui me firent du bien, et je fus assez heureux de pouvoir en toute occasion leur donner des marques de ma reconnaissance ; et j’eus de détestables ennemis qui m’ont persécuté, et que je n’ai pas exterminés parce que je ne l’ai pas pu. » (Casanova).
L’auteur souligne bien l’opposition : les amis d’un côté, les ennemis de l’autre.

Le point-virgule évite au lecteur de s’égarer dans le labyrinthe d’une phrase longue où abondent les virgules.
« Après un ou deux bâillements, il prit un flambeau d’une main, et de l’autre alla chercher languissamment le cou de sa femme, et voulut l’embrasser ; mais Julie se baissa, lui présenta son front, et y reçut le baiser du soir, ce baiser machinal, sans amour, espère de grimace qu’elle trouva alors odieuse. » (Balzac).
La virgule devant « mais » se serait diluée au milieu des autres.

Etc.,etc….

Le point-virgule ne répond donc pas forcément à un besoin logique, mais plutôt au style ou à la volonté de l’auteur.

Dans votre exemple « Sa voiture est tombée en panne au milieu de la campagne ; heureusement, un fermier passait par là. », le point-virgule est plutôt bienvenu ; il sépare très nettement les deux propositions en opposition (la panne et l’heureuse rencontre), plus que ne l’aurait fait une virgule qui aurait été un signe marquant plutôt la continuité.