Grammaticalement, le sujet est le singulier « un père » qui habite …
« avec sa fille » est un complément qui ne fait pas partie du sujet.
D’ailleurs, dans cet ordre  » un père habitait avec sa fille », on a moins de doutes.

J’aurais tendance à dire que c’est correct, mais il est également possible de le mettre au pluriel. C’est une question de bon sens dans l’histoire car c’est OU qui exclut l’autre.

Le président OU sont Premier ministre VIENDRA faire un discours

La maladie OU l’alcool l’ONT emporté.
Dans cette phrase, il y a possibilité des deux choix sans savoir, donc pluriel.

Bonsoir,

Tout comme Joëlle, je suis persuadé que les deux accords ne sont en aucun cas possibles :

« dans une maisonnette en bois en lisière de la forêt, habitait un père avec sa fille,… » et
« dans une maisonnette en bois en lisière de la forêt, habitaient un père et sa fille,… » .

Ceci écrit, la phrase est écrite maladroitement : il n’y a qu’à conjuguer habiter au passé composé en lieu et place de l’imparfait pour douter de sa construction. De plus on n’habite pas dans une maisonnette, mais une maisonnette : pour que la phrase soit correcte syntaxiquement la voix passive est requise :

«  une maisonnette en bois en lisière de la forêt, était habitée par un père et sa fille (avec sa fille n’est pas très  heureux)… » .

Bonsoir Tara,

je n’arrive pas à voir l’intérêt d’écrire ( Quelle nuance cela peut-il apporter ?) :

La directrice avec sa secrétaire ont reçu les candidats …
en lieu et place de :
La directrice et sa secrétaire ont reçu les candidats …

Et je suis apparemment le seul à être ennuyé par ce  habitait dans

Quand on va voir les définitions de « avec » on comprend l’hésitation
avec marque :
– manière d’être ou d’agir, l’instrument, le moyen, la cause, la présence simultanée, l’addition,  la jonction, l’opposition, l’union, l’accompagnement ..
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BDL : Sujets unis par avec
La préposition avec peut avoir plus d’un sens, selon qu’elle introduit un complément ou qu’elle joue un rôle de coordination. C’est le sens de cette préposition qui détermine l’accord du verbe.
Lorsque la préposition avec a son sens habituel, c’est-à-dire « en compagnie de », le verbe s’accorde avec le premier sujet, qui est le seul, en fait. Le complément introduit par avec joue alors un rôle accessoire dans la phrase; il est d’ailleurs souvent mis entre virgules.
Exemples :
– Pendant ce temps, Jean-Robert, avec son frère, s’assurera que tout soit prêt pour l’arrivée des invités.
– Le professeur, avec quelques élèves, a organisé une fête pour le départ d’Alice.
– La chaleur, avec le soleil, rendait Maxime faible.

Dans certains cas, la préposition avec joue plutôt le même rôle que la conjonction et, exprimant une idée d’addition; on peut alors accorder le verbe avec les deux sujets. Cet accord est toutefois rare, et ce, même lorsque les éléments ne sont pas séparés par des virgules. Dans le doute, il vaut mieux préférer l’accord avec le premier sujet uniquement.
Exemples :
– La directrice avec sa secrétaire ont reçu les candidats devant passer une entrevue. (ou : la directrice avec sa secrétaire a reçu les candidats)
– La neige avec le vent réduisent la visibilité sur les routes. (ou : la neige avec le vent réduit la visibilité)
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==> on voit bien dans les exemples, le rôle que tient la virgule.
Dans une maisonnette en bois en lisière de la forêt, habitait un père, avec sa fille
Dans une maisonnette en bois en lisière de la forêt, habitaient un père avec sa fille

Bonsoir

Je pense que les deux accords sont possibles car, en l’absence de virgules, avec peut tout à fait prendre le sens de et.
Mais il est vrai que l’accord se fait le plus souvent avec le premier sujet.
Si l’on considère ici que avec a pour sens « en compagnie de », il me semble alors justifié de mettre des virgules pour éviter toute équivoque.