Les deux formes existent mais l’usage a consacré une nuance de sens  :
– J’ai couru vite > notion de vitesse dans l’exécution du mouvement (par exemple pour échapper à un poursuivant, dans une compétition sportive). En général sans complément ;
– J’ai vite couru me cacher, me mettre à l’abri > idée de « sans perdre de temps » (avec un complément).

On peut faire une différence entre complément adverbial et complément circonstanciel.

Vous connaissez évidemment le sens de « courir vite », de « parler fort », de « parler gentiment »…
On a là des compléments adverbiaux qui modifient le sens du verbe, et qui peuvent s’utiliser à l’infinitif : parler fort, c’est le contraire de chuchoter ; courir vite, c’est le contraire de trottiner ; parler gentiment, c’est le contraire de gronder…
Ces adverbes se placent après le verbe qu’ils complètent, même aux temps composés : il a parlé fort, il a couru vite, il m’a parlé gentiment…
Il y a quelques exceptions (bien travailler, mal parler…), mais « vite » ne fait pas partie des exceptions.

Beaucoup d’adverbes ne modifient pas le sens du verbe, ils le mettent en contexte, ce sont des compléments circonstanciels.
— travailler inutilement, ce n’est pas une façon de travailler, c’est juste un point de vue ajouté à la phrase
— courir souvent, c’est toujours courir, et on court de la même façon qu’on coure souvent ou qu’on coure rarement
— parler soudainement, c’est toujours parler, ce n’est pas une façon de parler…
Pour ces compléments circonstanciels, il existe probablement quelques règles, quelques usages, quelques nuances, mais il y a une assez grande liberté :
— il a couru parfois ; il a combattu courageusement
— il a parfois couru ; il a courageusement combattu
— parfois, il a couru ; courageusement, il a combattu
L’adverbe « vite », utilisé comme complément circonstanciel, pourrait théoriquement être placé à différents endroits, probablement avec des nuances :
— vite il a réagi ; parfois il a réagi
— il a vite réagi ; il a parfois réagi
— il a réagi vite ; il a réagi parfois

On constate donc que l’adverbe « vite » peut avoir une fonction de complément adverbial et de complément circonstanciel.
Comme je suppose que, en tant que complément adverbial (courir vite), vous n’auriez pas hésité sur sa place, si vous posez la question, c’est que vous souhaitez l’utiliser en tant que complément circonstanciel, et que le choix semble en effet possible.
Et effectivement, il n’est pas complètement interdit de placer l’adverbe « vite » après le verbe.
Par exemple à l’impératif : cache-toi vite ! file vite ! cours vite ! cours vite chercher de l’aide !
Pourquoi pas également de façon ancienne ou populaire : il a filé vite… il a couru vite chercher de l’aide…
C’est-à-dire que quand « vite » signifie « immédiatement », c’est un complément circonstanciel, et on a théoriquement le choix de l’emplacement.

Mais, puisqu’il existe une construction avec un complément adverbial postposé (courir vite), pour éviter toute confusion, il est effectivement préférable de placer l’adverbe avant, afin de bien marquer que l’adverbe est ici utilisé comme complément circonstanciel.