Bonjour,

Les deux expressions ont le même sens mais des emplois différents .

L’expression « Dans le passé » est considérée comme un adverbe et signifie autrefois, jadis, dans le temps.
Ex:  « Cela se produisait dans le passé. »

L’expression « Par le passé » s’emploie dans une phrase comparative.
Ex:
« Pierre avait beaucoup changé, et il était devenu plus agressif que par le passé. »
« Elle m’observa avec plus d’attention  que par le passé. »

Remarque:
On emploie à tort naguère  dans le sens de jadis , autrefois…
Naguère signifie il y a peu de temps et se situe donc dans un passé proche.

On évitera donc d’écrire:
« Là fut naguère, il y a trois siècles, un des plus beaux palais du monde. »

• … tandis que le passé se conserve en nous par la mémoire, c’est notre imagination seule qui perçoit l’avenir. Aussi va-t-il beaucoup plus de formes temporelles distinctes pour l’indication du passé que pour celle de l’avenir. Le verbe français ne compte pas moins de cinq temps principaux du passé, pour l’indicatif seulement: imparfait, passé simple , passé composé, passé antérieur, plus-que-parfait; et ces trois derniers temps ont des formes surcomposées, pour rendre certaines nuances de l’antériorité; cela porte à huit le nombre de nos temps du passé pour le seul mode Indicatif (et encore le futur antérieur, et sa forme surcomposée n’y sont-ils pas compris). On voit si c’est avec raison que l’on a dit du français qu’il peut rendre le passé avec un véritable luxe de nuances »
R. LE BIDOIS, Synt. franç. mod.

Les deux expressions sont correctes mais la première est plus actuelle, c’est un comble s’agissant du passé…

Les deux expressions sont correctes et peuvent s’utliser dans les mêmes cas