Les deux sont justes mais « n’a qu’un seul » est peut-être une expression redondante :

– L’Etat a un avion = c’est un fait
– L’Etat n’a qu’un avion = on insiste sur la restriction (c’est peu).
– L’Etat n’a qu’un seul avion = on insiste doublement : restriction « que » et « seul ».

J’ajoute que L‘Etat a un avion et l’Etat n’a qu’un  avion, en tant que réponses, ne répondent pas à la  même question.  L’Etat a-t-il un avion ?  Oui, Il/ L’Etat  a un avion. Combien  l’Etat a-t-il d’avions ?   Il/L’Etat n’a qu’un avion.

Quant à L‘Etat n’a qu’un seul avion, je le considère comme pléonastique, Sans être puriste,  je me joins  aux puristes pour considérer que ne… qu’un seul  constitue un pléonasme. N’en déplaise à l’Académie qui ne semble pas de cet avis. 

Pour ma part, je vous déconseille donc de dire L’Etat n’a qu’un seul avion. 

Certes, on a là un pléonasme.
Mais je dirais presque qu’il est volontaire et donc différent de ceux qui sont commis par erreur où parfois le locuteur ignore même le sens exact des mots » s’avérer vrai » collaborer ensemble » courte allocution » tollé de protestations »…
C’est une façon d’insister et on rencontre encore : il a une seule et unique  veste
« Seul » renforce l’article* qui est lui même renforcé par « unique »*
*TLF
Il me semble alors que « Il n‘a qu‘un seul » peut être considéré également comme une formule d’insistance.

Oui, bien sûr  qu’il y a pléonasme et pléonasme !  J’ai d’ailleurs rappelé récemment la distinction à faire à cet égard.

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De plus,  à mon sens,  il   convient d’éviter ne… qu’un seul   parce que l’on risque fort de faire penser que l’on commet un pléonasme critiquable, d’autant que   L’Etat n’a qu’un seul avion = l’Etat n’a  seulement qu’un avion  et que ne… seulement que  est également  critiqué  (cf.  le « Thomas », 1992, p. 382  ; le « Girodet », 1986, p. 716  ; etc.).