On pourrait  voir une nuance entre les deux termes

Le fait d’être mature biologiquement  pour les êtres vivants  du règne animal (Humanité comprise donc.) signifie « prêt à la reproduction ».

Il porte en soi l’idée qu’une évolution nécessaire au but est désormais atteinte, d’un processus qui autorisera une suite.

Par analogie, on doit pouvoir l’utiliser pour un concept.

Ex : Sa réflexion était désormais mature : demain il commencerait à chercher un nouvel emploi…

Alors que mûr ramène plutôt à un état précis qui tient moins compte du cheminement.

Mais bon là, nous ne sommes plus dans l’orthographe.

😉

Comme vous le savez peut-être, le latin a été transformé en français par deux canaux : la forme « classique » héritée des écrits en « bon » latin et la forme populaire héritée de l’oral et des hybridations médiévales. Il y a une grande quantité des ces doublets et c’est le cas pour mature (formé sur maturus) et mûr (par déformation).
En moyen français (médiéval), les deux coexistaient et cela a continué ainsi pendant des siècles. Les Anglais ont juste adopté la forme latine classique (vers 1400, d’abord comme verbe puis comme adjectif, selon leur dictionnaire étymologique).
La forme mature a donc toujours existé en français mais son utilisation s’est réduite au fil du temps à des emplois plus techniques.

Liste de citations dans des ouvrages récents.

« Mature » est simplement un anglicisme. Il n’y a pas de raison de l’employer puisque nous avons « mûr » qui fonctionne très bien.
Ces anglicismes utilisés seulement par un effet de mode sont à éviter.