— Hier, j’ai reçu un message me disant que je partirai en voyage d’affaires demain.
Futur ? le fait est présenté comme réel ? est-ce si évident ? OK si c’est le message d’une voyante. Mais je vois dans cette phrase un programme, une consigne, et le futur brut n’est pas si évident.

— Hier, j’ai reçu un message me disant que je partirais en voyage d’affaires le lendemain.
Vraiment pas clair : le lendemain d’hier ?
Et le passé composé est-il bien à prendre, comme vous le faites, comme un temps du passé, remplaçable par un passé simple ?
— Ce jour-là, je reçus un message me disant que je partirais en voyage d’affaires le lendemain.
Je ne pense pas que ce soit l’intention.

Vos deux propositions, les conjugaisons « partirai » et « partirais » sont peut-être des possibilités théoriques (je n’entends pour ma part personne parler ainsi), mais je chercherais plutôt du côté de « je pars », « je partais », « je dois partir », « je devais partir », « j’allais partir »…

Le contexte peut éclairer le choix du futur.
Un ordre peut être donné sous cette forme. On peut imaginer : j’ai reçu un message du chef disant que tu partiras finalement demain.

Mais vous avez raison Adrian : il faut vraiment avoir le contexte pour les temps de cette phrase.