Bonjour,
Lorsqu’on évalue la quantité que chacun retire ou apporte à un ensemble, on dit que c’est sa part (sa part du gâteau, sa part de responsabilité(s), etc.). C’est un premier argument en faveur du singulier. Avec le déterminant leur, on a la liberté de  choix entre singulier et  pluriel quand les « possesseurs » sont plusieurs et qu’ils ont chacun leur propre « possession ». Cependant, il semble que la phrase veuille révéler une vérité générale en rapport avec un jugement donné. C’est donc à chaque fois une situation singulière qui est évoquée et un second argument en faveur du singulier pour leur.   De manière courante, il serait donc plus cohérent d’écrire :   « Ainsi dissimulés derrière leurs costumes et autres perruques ridicules, leur part de responsabilité(s) serait moindre lorsqu’ils rendent un jugement, dont ils ne sont pas certains qu’il soit le bon. »
Maintenant, il est possible que le contexte vous encourage à insister sur un caractère collégial des jugements ou sur des responsabilités qui peuvent être différenciées en plusieurs parts même pour un seul juge. Ce serait une intention un peu surprenante et on attend alors que le reste du texte fasse comprendre  pourquoi vous sortez de la formulation la plus évidente.

Tout à fait d’accord avec Bruno, on dira qu’on a sa part de responsabilités, et non pas « ses parts » de responsabilités.

merci beaucoup pour votre explication

Si pour vous la construction est claire et que ce n’est qu’une question d’orthographe, décidez en passant de la troisième à la première personne :
— Nous faisons nos parts du travail –> Ils font leurs parts du travail
— Nous faisons notre part du travail –> Ils font leur part du travail
Il n’y a pas de règle particulière pour leur/leurs, mais juste une homophonie, qui n’existe pas pour notre/nos.
Les homophonies existent pour bien d’autres mots, ou pour des conjugaisons, et on focalise beaucoup trop sur celle-là.

Si c’est une question de sens, et qu’elle porte sur le nombre de parts, c’est selon ce que vous mettez en parts. On peut distribuer des parts de gâteau ou revendre des parts sociales, mais il n’y a pas de parts de chance dans des réussites, il y a seulement une part de chance.
Testez donc le remplacement par « des » pour savoir si « leurs » est possible :
— Ils ont une part de responsabilité –> Ils ont leur part de responsabilité
— Ils ont des parts de responsabilité –> Ils ont leurs parts de responsabilité
De même que « un peu de » ne se met pas au pluriel, « une part de » ne se met pas au pluriel quand il ne représente pas « une part » avec un complément précisant ce mot, mais sert en fait de déterminant à ce mot principal.
Dans votre phrase, qu’on parle des juges collectivement ou individuellement, ils ont une part de responsabilité. Nous ne sommes pas ici dans un cas où un accord ou une absence d’accord apporterait une focalisation sur un mot ni une nuance entre leurs parts cumulées et leur part à chacun.
En revanche, si la question avait porté sur le début de la phrase (dissimulés sous leur perruque / dissimulés sous leurs perruques), on aurait pu aborder ces considérations.

Et…
* C’est en dernier que vous auriez dû poser la question sur « leur/leurs », après avoir choisi entre « serait » et « seraient » (pourquoi avoir choisi le pluriel ?), après avoir choisi entre « moindre » et « moindres » (pourquoi avoir choisi le singulier ?). Il faut réfléchir au nombre, de façon libre, et ne pas s’enfermer dans des considérations sur les accords et d’éventuelles règles ou exceptions, qui généralement n’existent pas.
* On utilise le dénombrable « des responsabilités » pour des évoquer des tâches, des responsabilités pratiques qui nous sont attribuées (il a peu de responsabilités dans cette entreprise), et le théorique indénombrable « la responsabilité » pour le fait d’être responsable (il a peu de responsabilité dans le choix de cette entreprise). Dans votre phrase, utilisez obligatoirement le singulier.
* Faites gaffe à l’anacoluthe.