Si vous avez choisi de désigner ainsi les gens qui adhèrent aux deux partis en lice, ou qui les soutiennent, il s’agit de noms communs, sans majuscules.
Il y a certes une ambiguïté entre un membre du Parti démocrate et une personne qui est favorable à la démocratie, mais on ne la résout pas avec une majuscule pour le premier sens, et quand cette ambiguïté est gênante, c’est qu’il faut formuler autrement.

Pour toutes les questions sur les majuscules, on applique toujours le même principe qui est par essence lié au contexte :
– Valeur absolue et majuscule si le mot renvoie à un contenu parfaitement déterminé : ici les Républicains et les Démocrates (au pluriel) sont les noms de partis états-uniens parfaitement identifiés. Idem pour le parti français « LR ». Ce n’est que par abus de langage (métonymie) qu’un membre de ces partis est qualifié isolément de Républicain ou de Démocrate. Ce petit jeu appartient évidemment à la politique d’image desdits partis…
– Valeur relative et minuscule si le mot est sujet à interprétation, évaluation et doit se comprendre en fonction de son environnement : une vraie républicaine ne ferait pas cela, c’est un démocrate dans l’âme, etc.
À noter que dans le second cas, ces noms communs sont susceptibles des variations habituelles en genre et en nombre et sont employables avec des articles indéfinis, des adjectifs ou des compléments qui en précisent justement la portée.